Enunciado

Em cada caso, obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de E 3 que equidistam de r e π , e identifique-o

  1. r : x - y = z = 0 π : x + y = 0
  2. r : x - z = y = 0 π : x - z + 2 = 0

Passo 1

Então, temos um ponto X de coordenadas X = x , y , z pertencente a E 3 . Nosso trabalho é descobrir quem são esses pontos x que satisfazem:

d X , r = d X , π

Para isto, vamos precisar calcular a distância de ponto a reta e ponto a plano. Portanto, vamos relembrar como fazemos isto.

Seja uma reta t : X = T + λ   t → , a sua distância até o ponto X será dado por:

d X , t = | | X T → ∧ t → | | | | t → | |

E, seja π : a x + b y + c z + d = 0 a sua distância até o ponto X será dado por:

d X , π = a x + b y + c z + d a 2 + b 2 + c 2

Passo 2

Antes de partirmos para o cálculo da distância do ponto a reta, vamos obter uma equação vetorial da reta. Então, se

r : x - z = 0 y = 0 ⟹ r : x = z y = 0

Se a reta r : X = x , y , z , então, temos: x , y , z = x , 0 , x = x 1,0 , 1 . Então, se chamarmos x de λ (apenas uma simples mudança), temos a seguinte reta:

r : X = λ 1,0 , 1

Agora que já sabemos o vetor diretor da reta e um ponto R dela R = O = 0,0 , 0 , vamos calcular as distâncias. Começando por d X , r , temos:

X R → = R - X = 0,0 , 0 - x , y , z = - x , - y , - z

X R → ∧ r → = i j k - x - y - z 1 0 1 = - y , - z + x , y

d X , r = | | X R → ∧ r → | | | | r → | | = - y 2 + - z + x 2 + y 2 1 2 + 0 2 + 1 2 = 2 y 2 + - z - x 2 2

Já para d X , π , temos:

d X , π = a x + b y + c z + d a 2 + b 2 + c 2

d X , π = x - z + 2 1 2 + 1 2 + 0 2 = x - z + 2 2

Passo 3

Agora, só precisamos desenvolver a relação. Portanto,

2 y 2 + - z + x 2 2 = x - z + 2 2

2 y 2 + - z + x 2 = x - z + 2

2 y 2 + - z + x 2 = x - z + 2 2

2 y 2 + x 2 - 2 x z + z 2 = x 2 + z 2 + 4 - 2 x z - 4 z + 4 x

2 y 2 = 4 - 4 z + 4 x

y 2 = 2 - 2 z + 2 x

y 2 = 2 x + 1 - 2 z

Passo 4

No final do passo anterior obtivemos uma equação grau a três incógnitas. Vamos fazer agora uma mudança de coordenadas para colocar na sua forma reduzida. Portanto, temos o seguinte sistema:

u = x + 1 v = y w = z

E assim teremos a seguinte equação:

v 2 = 2 u - w

Agora, vamos fazer uma rotação em torno do eixo O v . Faremos uma rotação no sentido anti-horário de θ = 45 ° . Aplicando as relações desenvolvidas no capítulo 21, temos:

u v w = M E F ⋅ r s t

u v w = cos ⁡ θ 0 sen ⁡ θ 0 1 0 - sen ⁡ θ 0 cos ⁡ θ ⋅ r s t

u v w = 2 2 0 2 2 0 1 0 - 2 2 0 2 2 ⋅ r s t

u = 2 2 r + t v = s w = 2 2 - r + t

A mágica para eliminação de uma das variáveis é feita substituindo as relações acima na equação da quádrica. Portanto,

v 2 = 2 u - w

s 2 = 2 2 2 r + t - 2 2 - r + t

s 2 = 2 2 r

Portanto, após uma rotação de 45° obtivemos a equação s 2 = 2 2 r , o que consiste em uma parábola. Portanto, como existe algum sistema de coordenadas em que conseguimos escrever a nossa quádrica através de apenas 2 variáveis, esta nossa quádrica é cilíndrica.

E não só isto, como a curva é uma parábola temos uma quádrica cilíndrica parabólica.

Resposta

O lugar geométrico dos pontos de X = x , y , z ∈ E 3 que satisfazem y 2 = 2 x + 1 - 2 z

é chamado quádrica cilíndrica parabólica!

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