Enunciado

Para cada um dos pares de vetores u → e v → , encontrar o vetor projeção ortogonal de v → sobre u → e decompor v → como soma de v 1 → com v 2 → , sendo v 1 → | | u → e v 2 → ⊥ u →

b) u → = ( 1,1 ) e   v → = ( 2,5 )

Passo 1

A questão pede várias coisas pra gente, vamos começar pela primeira, a projeção ortogonal de v → sobre u → , lembrando que a fórmula da projeção de um vetor sobre outro é desse jeitinho aqui:

p r o j u → v → = v → ⋅ u → u → ⋅ u → u →

Vamos começar resolvendo isso então, sendo que o produto escalar é feito desse jeito:

a → ⋅ b → = x a → * x b → + y a → * y b →

p r o j u → v → = 2 * 1 + 5 * 1 1 * 1 + 1 * 1 u →

p r o j u → v → = 7 2 * ( 1 , 1 )

p r o j u → v → = 7 2 , 7 2

Passo 2

Podemos decompor um vetor v → = v → 1 + v → 2 , sendo v → 1 | | u → e v → 2 ⊥ u → .

Mas quem são esses v → 1 e v → 2 ???

Bom o v → 1 nós acabamos de achar, a projeção de v → em u → é exatamente o vetor v → paralelo a u → , sendo assim o nosso v 1 → , então temos:

v → 1 = 7 2 , 7 2

E também sabemos que

v → = ( 4,3 )

Passo 3

Agora que sabemos v → e v 1 → , podemos achar v 2 → fazendo

v → = v 1 → + v 2 →

v 2 → = v → - v 1 →

v 2 → = ( 2,5 ) 7 2 , 7 2

v 2 → = - 3 2 , 3 2

Então ficamos com:

v → = 7 2 , 7 2 + - 3 2 , 3 2

Resposta

p r o j u → v → = 7 2 , 7 2

v → = 7 2 , 7 2 + - 3 2 , 3 2

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Determine o vetor v → , paralelo ao vetor u → = ( 1 ,- 1 ,2 ) , tla que v → ∙ u → = - 18
Determine o vetor v → ortogonal ao vetor u → = 2 ,- 3 ,- 12 e colinear ao vetor w → = - 6 ,4 ,2 .
Sabendo que o ângulo entre os vetores u → = 2 ,1 ,- 1 e v → = 1 ,- 1 ,m + 2 é π 3 , determinar m .
Determinar o vetor v → , sabendo que v → = 5 , v → é ortogonal ao eixo O z , v → ∙ w → = 6 e w → = 2 j → + 3 k →
Dados os vetores a → = 2 ,1 ,α , b → = α + 2 ,- 5 ,2 e c → = 2 α ,8 ,α , determinar o valor de α para que o vetor a → + b → seja ortogonal ao vetor c → - a →