Enunciado

29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.

(a) 1 - 1 2 3

(b) 1 2 0 1 1 4

(c) 1 1 - 2 1 2 1

(d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0

(e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1

(f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1

Passo 1

(a) 1 - 1 2 3

Vamos calcular:

det ⁡   1 - 1 2 3 = 1 3 - 2 - 1

det ⁡   1 - 1 2 3 = 5

Como a matriz é quadrada e o determinante é diferente de zero, então a matriz é invertível e, portanto, tem decompsição Q R .

Pegando os vetores coluna pra gente aplicar o processinho depois:

u 1 = 1,2

u 2 = - 1,3

Passo 2

Aplicando processo de Grand schmidt:

Fazendo:

v 1 = u 1

v 1 = 1,2

Pra achar v 2 :

v 2 = u 2 - u 2 ⋅ v 1 v 1 2 v 1

Fazendo o produto interno:

u 2 ⋅ v 1 = - 1 1 + 3 2

u 2 ⋅ v 1 = 5

Calculando a norma de v 1 :

v 1 = 1 2 + 2 2

v 1 = 5

Então:

v 2 = - 1,3 - 5 5 1,2

v 2 = - 1,3 - 1,2

v 2 = - 2,1

Passo 3

Agora precisamos normalizar:

Mas antes, calculando a norma de v 2 :

v 2 = - 2 2 + 1 2

v 2 = 5

Os vetores normalizados ficam:

q 1 = v 1 v 1

q 1 = 1 5 , 2 5

q 2 = v 2 v 2

q 2 = - 2 5 , 1 5

Passo 4

A decomposição Q R da matriz é (pela fórmula):

1 - 1 2 3 = q 1 q 2 u 1 ⋅ q 1 u 2 ⋅ q 1 0 u 2 ⋅ q 2

Fazendo esses benditos produtos internos:

u 1 ⋅ q 1 = 1 1 5 + 2 2 5

u 1 ⋅ q 1 = 5 5

u 2 ⋅ q 1 = - 1 1 5 + 3 2 5

u 2 ⋅ q 1 = 5 5

u 2 ⋅ q 2 = - 1 - 2 5 + 3 1 5

u 2 ⋅ q 2 = 5 5

Então:

1 - 1 2 3 = 1 5 - 2 5 2 5 1 5 5 5 5 5 0 5 5

Resposta

Q R = 1 5 - 2 5 2 5 1 5 5 5 5 5 0 5 5

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32. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o Teorema 6.3.2a para expressar o polinômio dado como uma cominação linear dos três primeiros polinômios de Legendre (ver a observação que segue o Exemplo 8).(a
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