Enunciado

29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.

(a) 1 - 1 2 3

(b) 1 2 0 1 1 4

(c) 1 1 - 2 1 2 1

(d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0

(e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1

(f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1

Passo 1

(c) 1 1 - 2 1 2 1

Não é uma matriz quadrada, então não vale o bizu de calcular só o determinante e ser diferente de zero...

Maaassss, como dica, podemos pegar uma das maiores matrizes quadradas que tem dentro da matriz:

1 1 - 2 1 ou - 2 1 2 1

Bem.. o determinante das duas matrizes vai ser diferente de zero, então as colunas são linearmente independentes. Portante, tem decomposição Q R .

Pegando os vetores coluna pra gente aplicar o processinho depois:

u 1 = 1 , - 2,2

u 2 = 1,1 , 1

Passo 2

Aplicando processo de Grand schmidt:

Fazendo:

v 1 = u 1

v 1 = 1 , - 2,2

Pra achar v 2 :

v 2 = u 2 - u 2 ⋅ v 1 v 1 2 v 1

Fazendo o produto interno:

u 2 ⋅ v 1 = 1 1 + 1 - 2 + 1 2

u 2 ⋅ v 1 = 1

Calculando a norma de v 1 :

v 1 = 1 2 + - 2 2 + 2 2

v 1 = 3

Então:

v 2 = 1,1 , 1 - 1 9 1 , - 2,2

v 2 = 1,1 , 1 - 1 9 1 , - 2,2

v 2 = 8 9 , 11 9 , 7 9

Passo 3

Agora precisamos normalizar:

Mas antes, calculando a norma de v 2 :

v 2 = 8 9 2 + 11 9 2 + 7 9 2

v 2 = 234 9

Os vetores normalizados ficam:

q 1 = v 1 v 1

q 1 = 1 3 , - 2 3 , 2 3

q 2 = v 2 v 2

q 2 = 8 234 , 11 234 , 7 234

Passo 4

A decomposição Q R da matriz é (pela fórmula):

1 2 0 1 1 4 = q 1 q 2 u 1 ⋅ q 1 u 2 ⋅ q 1 0 u 2 ⋅ q 2

Fazendo esses benditos produtos internos:

u 1 ⋅ q 1 = 1 1 3 + - 2 - 2 3 + 2 2 3

u 1 ⋅ q 1 = 3

u 2 ⋅ q 1 = 1 1 3 + 1 - 2 3 + 1 2 3

u 2 ⋅ q 1 = 1 3

u 2 ⋅ q 2 = 1 8 234 + 1 11 234 + 1 7 234

u 2 ⋅ q 2 = 26 3

Então:

1 2 0 1 1 4 = 1 3 8 234 - 2 3 11 234 2 3 7 234 3 1 3 0 26 3

Resposta

Q R = 1 3 8 234 - 2 3 11 234 2 3 7 234 3 1 3 0 26 3

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33. (Requer Cálculo) Suponha que P 2 tenha o produto interno p , q = ∫ 0 1 p x q x d x Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar a base canônica S = { 1 , x , x 2 } numa base ortonormal.
34. Encontre vetores x e y em R 2 que sejam ortonormais em relação ao produto interno u , v = 3 u 1 v 1 + 2 u 2 v 2 mas não em relação ao produto interno euclidiano.
Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal para o subespaço de R 4 que tem como base 1 ,1 ,- 1 ,0 , 0 ,2 ,0 ,1 , - 1 ,0 ,0 ,1 .
Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para transformar a do R 3 1 ,1 ,1 , 0 ,1 ,1 , 1 ,2 ,3 em uma base ortonormal do R 3
Sejam V 1 , … ,V k vetores linearmente dependentes. Mostre que, aplicando-se o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt aos vetores V 1 ,… ,V k , se obtém um vetor W i que é nulo, para algum i = 1