Enunciado

Em cada parte, encontre uma operação com linhas e a matriz elementar correspondente que retorna a matriz elementar dada à matriz identidade

  1. 1 - 3 0 1
  2. - 7 0 0 0 1 0 0 0 1
  3. 1 0 0 0 1 0 - 5 0 1
  4. 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

Passo 1

Então galerinha, nesse caso aqui a gente tá afim de encontrar a operação elementar que faz com que nossa matriz se torne a identidade ok?! E quem que é essas operações elementares?! São essas aqui ó:

  • Multiplicar uma linha inteira por um constante não nula.
  • Trocar duas linhas entre si.
  • Somar uma linha a outra linha quantas vezes necessárias.

Iradoso, mas é só isso que nois precisa encontrar?! NÃOOO!! A gente também quer encontrar a matriz A que realiza essa operação do tipo:

X A = I

Ou seja, nossa matriz A é a matriz do exercício, e a matriz X é a matriz que leva A na identidade e é ela quem queremos encontrar. #Partiu

Passo 2

Nossa letra (a) tem a matriz:

1 - 3 0 1

Pra transformar essa matriz ai na matriz identidade, a gente precisa tirar aquele - 3 da primeira linha. Pra isso a gente pode somar a linha 1 com mais 3 vezes a linha 2 que fica tudo uma maravilha. Desse jeito:

1 - 3 0 1 ⇒ L 1 = L 1 + 3 L 2 ⇒   1 + 0 - 3 + 3 0 1 =   1 0 0 1

Logo nossa equação que faz a matriz A se tornar a identidade é:

L 1 = L 1 + 3 L 2

Agora pra encontrarmos nossa matriz X a gente só precisa montar seus elementos de acordo com a operação elementar que a gente fez:

X . A = I ⇒ a b c d . 1 - 3 0 1 =   1 0 0 1 ⇒ a + 0 b = 1 - 3 a + b = 0 c + 0 d = 0 - 3 c + d = 1 ⇒ a = 1 b = 3 c = 0 d = 1 ⇒ X = 1 3 0 1

E a gente pode fazer esse processo direto, apenas observando a equação ligada a operação, perceba que nossa equação soma a segunda linha com a primeira linha 3 vezes, e isso acontece apenas na primeira linha, logo nossa matriz X vai ser disposta de tal maneira que realize essa operação.

Passo 3

Nossa letra (b) traz a matriz:

- 7 0 0 0 1 0 0 0 1

Nessa aqui, a gente só precisa dividir a primeira linha por - 7 que fica show de bola. Então nossa equação é:

L 1 = 1 - 7 L 1

Belezinha, como nossa operação é essa que acabamos de encontrar, a matriz X que satisfaz a igualdade X . A = I , é:

X =   1 - 7 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 4

Agora na nossa letra (c) a matriz que a gente tem é essa aqui:

1 0 0 0 1 0 - 5 0 1

E pra gente transformar ela na identidade, basta somar a linha 3 com mais 5 vezes a linha 1. Logo nossa equação fica assim ó:

L 3 = L 3 + 5 L 1

Com nossa operação em mãos, agora é só encontrar a matriz X . Já que nossa operação acontece na linha 3 e a gente tá somando 5 vezes a linha 1, nossa matriz vai acrescentar um 5 no elemento referente a terceira linha, desse jeito aqui ó:

X =   1 0 0 0 1 0 5 0 1

Passo 5

Agora chegamos na famigerada letra (d) e nossa matriz é:

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

E nessa aqui, a gente já vê logo de cara que se trocarmos a linha 1 com a linha 3, pronto, chegamos na identidade. Então nossa equação que transforma nossa matriz na elementar é:

L 1 ↔ L 3

E agora fica o bizusinho do RespondeAi, sempre que nossa operação for uma troca de linha, a matriz que representa essa operação é a mesma matriz que recebe essa operação, ou seja, se nossa matriz A é:

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

Nossa matriz X , vai ser também:

X = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

Show de bolinhas?!

Resposta

  1. L 1 = L 1 + 3 L 2 ,     X = 1 3 0 1
  2. L 1 = 1 - 7 L 1 ,     X =   1 - 7 0 0 0 1 0 0 0 1
  3. L 3 = L 3 + 5 L 1 ,   X =   1 0 0 0 1 0 5 0 1
  4. L 1 ↔ L 3 ,     X = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
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