Enunciado

Em cada parte, explique em palavras por que os vetores dados não são uma base do espaço vetorial dado.

c) p 1 =   1 +   x +   x 2 ,   p 2 =   x -   1   p a r a   P 2

Passo 1

c)

Vamos lá! Para um conjunto de vetores ser base, ele precisa ser necessariamente linearmente independente.

Fazendo a combinação linear entre os 2 polinômios temos:

a ⋅ p 1 + b ⋅ p 2 = 0

a ⋅ x 2 + x + 1 + b x - 1 = 0

Fazendo b = 0

a x 2 + x + 1 = 0 ,   l o g o   a = 0

Substituindo na equação temos

b x - 1 = 0 ,   l o g o   b = 0 .

Assim nosso sistema é L.I.

Passo 2

Agora precisamos conferir se nosso conjunto gera P 2 .

Para isso vamos testar se para um vetor ( a ,   b ,   c ) .

a x 2 + b x + c = k 1 ⋅ x 2 + x + 1 + k 2 ⋅ ( x - 1 )

k 1 = a k 1 + k 2 = b k 1 - k 2 = c ,   k 1 = a ,   k 2 = b - a .

a x 2 + b x + c = a x 2 + a x + a + b x - a x + a - b

a x 2 + b x + c = a x 2 + b x + ( 2 a - b )

Como nosso sistema só aceita resposta do gênero c = ( 2 a - b ) .

Assim é nosso conjunto não gera o todo o P 2 nosso conjunto não é base.

Isso é tudo pessoal! Até a próxima!

Resposta

Não é base.

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