Enunciado

Encontre uma base para os seguintes subespaços do R 3 :

a) Todos os vetores da forma a , b , c , onde b = a ;

b) Todos os vetores da forma a , b , c , onde a = 0 ;

c) Todos os vetores da forma a - b , b + c , 2 a - b + c .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão ele pede para encontrar uma base para os seguintes subespaços do R 3 :

a) Todos os vetores da forma a , b , c , onde b = a ;

b) Todos os vetores da forma a , b , c , onde a = 0 ;

c) Todos os vetores da forma a - b , b + c , 2 a - b + c .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Na letra (a) sabendo que,

Todos os vetores da forma ( a , b , c ) , onde b = a temos,

a , a , c = a , a , 0 + 0,0 , c = a 1,1 , 0 + c ( 0,0 , 1 )

Dado,

S = { v 1 = 1,1 , 0 ,   v 2 = 0,0 , 1 }

Sendo ela uma L.I. que gera uma base do subespaço.

Na letra (b) sendo

Todos os vetores da forma ( a , b , c ) , onde a = 0 ficando,

0 , b , c = 0 , b , 0 + 0,0 , c = b 0 , 1,0 + c ( 0,0 , 1 ) , logo

S = { v 1 = 0 , 1,0 ,   v 2 = 0,0 , 1 } ,

Sendo S uma L.I. pois um vetor não é múltiplo escalar do outro, sendo S uma base do subespaço.

Passo 3

E por fim na letra ( c )

Para todos os vetores da forma ( a - b , b + c , 2 a - b + c )

Ficando,

a - b , b + c , 2 a - b + c = a , 0,2 a + - b , b , - b + 0 , c , c =

a ( 1,0 , 2 + b - 1,1 , - 1 + c ( 0,1 , 1 )

Ficando,

S = { v 1 = 1,0 , 2 ,   v 2 = - 1,1 , - 1 ,   v 3 = 0,1 , 1 }

Agora para verificarmos se S é L.I devemos saber que,

x 1,0 , 2 + y - 1,1 , - 1 + z 0,1 , 1 = ( 0,0 , 0 ) ,

Ficando,

v 1 = 1,0 , 2 ; v 2 = - 1,1 , - 1 ; v 3 = [ 0,1 , 1 ]

A = [ v 1 , v 2 , v 3 ]

1 0 1 0 1 1 0 0 0

Ficando,

S = { v 1 = 1,0 , 2 ; v 2 = - 1,1 , - 1 } sendo S uma base do subespaço sendo ela uma L.I

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) L.I. que gera uma base do subespaço.

b) L.I. pois um vetor não é múltiplo escalar do outro, sendo S uma base do subespaço.

c) uma base do subespaço sendo ela uma L.I

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