Enunciado

Em cada um dos problemas 1 a 10, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico

x 2 - 2 y 2 - 8 = 0

Passo 1

Para questões de equações de elipse, vamos começar explicitando o que é o que.

  • A equação não está na forma x - x c 2 a 2 - y - y c 2 b 2 = 1 onde x c ,   y c são as coordenadas do centro. Portanto, devemos achar uma maneira de deixar nessa forma.
  • O semi-eixo menor é dado c 2 = a 2 + b 2
  • A excentricidade é dada por e = c a .
  • As assíntotas são dadas pela equação y = ± b a x
  • Os vértices são dados pelas equações A 1 = ( x c - a ,   y c ) e A 2 = x c + a ,   y c
  • Os focos são dados por F 1 = ( x c - c ,   y c ) e F 2 = ( x c + c ,   y c )

Explicitando os fatores, vamos começar e encontra-los.

Passo 2

Analisando a equação x 2 - 2 y 2 - 8 = 0 , vamos transformá-la numa equação no formato:

x - x c 2 a 2 - y - y c 2 b 2 = 1

Para isso, vamos dividir a equação inteira por 8 . Assim, temos:

x 2 8 - 2 y 2 8 - 8 8 = 0

x 2 8 1 - y 2 8 2 = 1

x 2 8 - y 2 4 = 1

Passo 3

Analisando a equação x 2 8 - y 2 4 = 1 , temos que, se x - x c 2 a 2 - y - y c 2 b 2 = 1 .

x c ,   y c = ( 0 ,   0 )

a 2 = 8         ∴           a = 2 2

b 2 = 4           ∴             b = 2

Passo 4

Achando os fatores a e b , vamos jogar na equação c 2 = a 2 + b 2 para encontrarmos o fator c .

c 2 = a 2 + b 2

c 2 = 8 + 4

c = 12

c = 2 3

Passo 5

Agora que achamos o fator c , vamos usá-lo para encontrar a excentricidade da elipse.

e = c a

e = 2 3 2 2

e = 3 2 ⋅ 2 2

e = 3 2 2

e = 6 2

Passo 6

Agora que todos os parâmetros foram encontrados, vamos encontrar os vértices A 1 e A 2 .

A 1 = ( x c - a ,   y c )

A 1 = ( 0 - 2 ,   0 )

A 1 = ( - 2,0 )

Assim,

A 2 = ( x c + a ,   y c )

A 2 = ( 0 + 2 ,   0 )

A 2 ( 2 ,   0 )

Passo 7

Por fim, nos resta achar os focos antes de esboçar o gráfico. Assim, vamos usar as equações para os focos que explicitamos no Passo 1: F 1 = ( x c - c ,   y c ) e F 2 = ( x c + c ,   y c )

F 1 = ( x c - c ,   y c )

F 1 = ( 0 - 2 3 ,   0 )

F 1 = ( - 2 3 ,   0 )

Assim,

F 2 = ( x c + c ,   y c )

F 2 = ( 0 + 2 3 ,   0 )

F 2 = ( 2 3 ,   0 )

Passo 8

Encontrados os pontos, vamos encontrar a equação das assíntotas usando da equação

y = ± b a x .

y 1 = b a x

y 1 = 2 2 2 x

Assim,

y 2 = - b a x

y 2 = - 2 2 2 x

Passo 9

Por fim, vamos esboçar o gráfico. Para isso, usamos o Geogebra. Nesse caso, como os focos não são tão simples de serem marcados, vamos plotar o gráfico usando a equação da hipérole x 2 8 - y 2 4 = 1 e as equações das assíntotas:

Pronto, é isso que a questão queria!

Resposta

A 1 - 2,0 ,   A 2 2,0 ,   F 1 - 2 3 ,   0 ,   F 2 2 3 ,   0 e e = 3

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