Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 12 , esboçar o gráfico e determinar os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das assíntotas das hipérboles dadas.

11. x 2 - 9 y 2 = 1

Passo 1

Então galera, antes de começarmos com a resolução devemos extrair duas informações sobre a equação que nos foi dada, que são os fatores a e b da equação! Mas que fatores são esses? Então, de acordo com o que estudamos a equação de uma hipérbole pode ter dois formatos:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Ou:

y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1

A equação que nos foi dada é essa aqui:

x 2 - 9 y 2 = 1

Simplificando para escrevermos no formato padrão:

x 2 1 - y 2 1 9 = 1

Que condiz com o primeiro formato, certo? Então se compararmos os denominadores, teremos:

a 2 = 1 ∴ a = 1

b 2 = 1 9 ∴ b = 1 3

Ok, encontramos a e b ! Agora podemos iniciar a resolução de fato, então bora lá!

Passo 2

Para encontrarmos os vértices da hipérbole é de boa! Para a equação nesse formato eles são dados pelos pontos:

- a ,   0   e   a ,   0

Como a = 1 , então nossos vértices serão:

V é r t i c e s : - 1 ,   0   e   1 ,   0

Ademais, para encontrarmos os focos da hipérbole também é bem tranquilão, galera! Basta que encontremos o c da nossa equação utilizando o Teorema de Pitágoras, pois os focos, para a equação nesse formato, são dados pelos pontos:

- c ,   0   e   c ,   0

Aplicando o Teorema:

c 2 = a 2 + b 2

c 2 = 1 + 1 9

∴ c = 10 3

Então nossos focos serão:

F o c o s : - 10 3 ,   0   e   10 3 ,   0

Show! Metade do caminho foi concluído, agora vamos para o final!

Passo 3

A excentricidade de uma hipérbole é dada pela seguinte razão:

e = c a

Substituindo os valores, teremos:

e = 10 3

Por fim, para determinarmos as equações das assíntotas, temos que utilizar as relações:

y 1 = b a x   e   y 2 = - b a x

Substituindo os valores, teremos:

y 1 = 1 3 x   e   y 2 = - 1 3 x

Esboçando essa hipérbole, teremos o seguinte, galera:

No qual as curvas em vermelho é a hipérbole e as linhas tracejadas em preto são as assíntotas. E está aí nossa resolução!

Resposta

V é r t i c e s : - 1 ,   0   e   1 ,   0

F o c o s : - 10 3 ,   0   e   10 3 ,   0

E x c e n t r i c i d a d e :   e = 10 3

A s s í n t o t a s :   y 1 = 1 3 x   e   y 2 = - 1 3 x

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Uma partícula desloca-se ao longe de um ramo da hipérbole H : x 2 p + y 2 q = 1 com velocidade, em cada ponto p = h , k , igual ao vetor tangente t → = p k , - q h nesse ponto. Obtenha os valores máxi
Obtenha equações das retas tangentes à hipérbole H :- 4 x 2 + 2 y 2 = 3 que são paralelas à reta de equação 6 x - 3 y = 0 .
Obtenha uma equação reduzida da hipérbole de centro O que tem focos em um dos eixos coordenados, excentricidade 2, e contém o ponto 2 , 7 .
Calcule a medida angular entre as retas tangentes à hipérbole de equação x 2 - 2 y 2 = 2 nos pontos P = 2 , - 1eQ = 2,0 .
Mostre que a regra prática para se obter uma equação da reta tangente no ponto T = h , k não exige que a equação da hipérbole esteja na forma reduzida: é suficiente que ela contenha apenas termos em x