Enunciado

Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas:

Focos F ( ± 5 ,   0 ) , vértices A ( ± 3 ,   0 ) .

Passo 1

Para questões de equações de hipérboles com condições, temos que analisar quais dos eixos os focos e vértices estão.

Nesse caso, os focos e vértices estão no eixo x . Logo, será uma equação do tipo:

x - x c 2 a 2 - y - y c 2 b 2 = 1

Passo 2

Outro fator importante é que, os focos e vértices são simetricamente opostos. O que nos conclui que as coordenadas do centro são:

x c ,   y c = ( 0 ,   0 )

Com isso, nossa equação fica mais simples na forma:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Passo 3

Com os vértices A 1 e A 2 , temos que sua equação é A 1 = ( x c - a ,   y c ) e A 2 = ( x c + a ,   y c ) .

Como as coordenadas do centro são ( 0 ,   0 ) , temos que, A 1 = ( - a ,   0 ) e A 2 = ( a ,   0 ) .

Se compararmos aos valores dos vértices dados no enunciado, temos que

A = ± a ,   0 = ( ± 3 ,   0 )

Logo, a = 3 . Assim, encontramos o primeiro parâmetro da nossa equação.

Passo 4

Usaremos o mesmo raciocínio com a relação dos focos. Como suas equações são

F 1 = ( x c - c ,   y c ) e F 2 = ( x c + c ,   y c ) , usando as coordenadas do centro, temos que

F = ( ± c ,   0 )

Comparando com os focos do enunciado, temos:

F = ± c ,   0 = ( ± 5 ,   0 )

Logo, c = 5 .

Passo 5

Para acharmos o parâmetro b , vamos usar da equação c 2 = a 2 + b 2

c 2 = a 2 + b 2

b 2 = c 2 - a 2

b 2 = 5 2 - 3 2

b 2 = 25 - 9

b 2 = 16

b = 16

b = 4

Passo 6

Como é uma equação na forma x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 e os parâmetros a = 5 e b = 4 , temos:

x 2 3 2 - y 2 4 2 = 1

x 2 9 - y 2 16 = 1

Passo 7

Vamos agora colocar a equação na forma extensa. Para isso, vamos multiplicar a equação toda pelo produto dos denominadores.

Assim

16 ∙ 9 × x 2 9 - y 2 16 = 1 × 16 ∙ 9

16 x 2 - 9 y 2 = 144

16 x 2 - 9 y 2 - 144 = 0

Pronto! Assim, concluímos a questão!

Resposta

16 x 2 - 9 y 2 - 144 = 0

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