Enunciado

Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas:

Focos F ( 0 ,   ± 3 ) , vértices A ( 0 ,   ± 2 ) .

Passo 1

Para questões de equações de hipérboles com condições, temos que analisar quais dos eixos os focos e vértices estão.

Nesse caso, os focos e vértices estão no eixo y . Logo, será uma equação do tipo:

y - y c 2 a 2 - x - x c 2 b 2 = 1

Passo 2

Outro fator importante é que, os focos e vértices são simetricamente opostos. O que nos conclui que as coordenadas do centro são:

x c ,   y c = ( 0 ,   0 )

Com isso, nossa equação fica mais simples na forma:

y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1

Passo 3

Com os vértices A 1 e A 2 , temos que sua equação é A 1 = ( x c ,   y c - a ) e A 2 = ( x c ,   y c + a ) .

Como as coordenadas do centro são ( 0 ,   0 ) , temos que, A 1 = ( 0 , - a ) e A 2 = ( 0 ,   a ) .

Se compararmos aos valores dos vértices dados no enunciado, temos que

A = 0 , ± a = ( 0 ,   ± 2 )

Logo, a = 2 . Assim, encontramos o primeiro parâmetro da nossa equação.

Passo 4

Usaremos o mesmo raciocínio com a relação dos focos. Como suas equações são

F 1 = ( x c ,   y c - c ) e F 2 = ( x c ,   y c + c ) , usando as coordenadas do centro, temos que

F = ( 0 , ± c )

Comparando com os focos do enunciado, temos:

F = 0 , ± c = ( 0 ,   ± 3 )

Logo, c = 3 .

Passo 5

Para acharmos o parâmetro b , vamos usar da equação c 2 = a 2 + b 2

c 2 = a 2 + b 2

b 2 = c 2 - a 2

b 2 = 3 2 - 2 2

b 2 = 9 - 4

b 2 = 5

b = 5

Passo 6

Como é uma equação na forma y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 e os parâmetros a = 2 e b = 5 , temos:

y 2 3 2 - x 2 4 2 = 1

y 2 4 - x 2 5 = 1

Passo 7

Vamos agora colocar a equação na forma extensa. Para isso, vamos multiplicar a equação toda pelo produto dos denominadores.

Assim

4 ∙ 5 × y 2 4 - x 2 5 = 1 × 4 ∙ 5

5 y 2 - 4 x 2 = 20

5 y 2 - 4 x 2 - 20 = 0

4 x 2 - 5 y 2 + 20 = 0

Pronto! Assim, concluímos a questão!

Resposta

4 x 2 - 5 y 2 + 20 = 0

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