Enunciado

Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.

Vértices em ( 5 , - 2 ) e ( 3 , - 2 ) , um foco em ( 7 , - 2 ) .

Passo 1

Esboçando um gráfico, temos que:

O nosso termo se altera em x , mas não tem centro na origem. Utilizaremos então a primeira referência.

O nosso centro é o Ponto Médio dos Vértices:

C = 5 + 3 2 , - 2 - 2 2 = ( 4 , - 2 )

Agora, já temos como comparar com o centro de referência.

Passo 2

Nós temos a coordenada do centro de referência dada por:

C = ( h , k )

Se:

C = ( 4 , - 2 )

Então:

h = 4

k = - 2

Quando comparamos com o foco, teremos que:

F ( h + c , k )

F ( 7 , - 2 )

Então:

h + c = 7

4 + c = 7

c = 3

Passo 3

Ainda com as equações da primeira referência, teremos que:

A 2 ( 5 , - 2 )

E também:

A 2 = ( h + a , k )

4 + a = 5

a = 1

Com isso, conseguimos usar a equação de Pitágora para encontrar b :

c 2 = a 2 + b 2

9 = 1 + b 2

b 2 = 8

Passo 4

O livro nos diz que a equação de hipérbole para primeira referência, teremos que:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1

Temos que:

a 2 = 1

b 2 = 8

h = 4

k = - 2

Substituindo, teremos:

x - 4 2 1 - y - ( - 2 ) 2 8 = 1

Multiplicando tudo por 8 , teremos:

8 x - 4 2 - y + 2 2 = 8

Multiplicando os termos:

8 x 2 - 8 x + 16 - y 2 + 4 y + 4 = 8

8 x 2 - 64 x + 128 - y 2 - 4 y - 4 = 8

Reorganizando:

8 x 2 - y 2 - 64 x - 4 y + 116 = 0

Resposta

8 x 2 - y 2 - 64 x - 4 y + 116 = 0

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Os vértices de uma hipérbole estão em - 3 ,- 1 e - 1 ,- 1 , e a distância entre os focos é 2 5 . Ache (a) a equação da hipérbole e (b) a equação das assíntotas.
Ache a equação da hipérbole satisfazendo as condições dadas e faça um esboço do gráfico.Um foco em - 3 - 3 13 ,1 , as assíntotas interceptam-se em - 3 ,1 e uma assíntota passa pelo ponto 1 ,7 .
Ache a equação da reta tangente à hipérbole 4 x 2 - y 2 = - 1 no ponto 1 2 ,2 .
Ache a equação da hipérbole cujos os focos são os vértices da elipse 7 x 2 + 11 y 2 = 77 e cujos os vértices são os focos dessa elipse.
Ache a equação da reta normal à hipérbole 4 x 2 - 3 y 2 = 24 no ponto 3 ,2 .