Enunciado

Ache a equação da hipérbole cujos os focos são os vértices da elipse 7 x 2 + 11 y 2 = 77 e cujos os vértices são os focos dessa elipse.

Passo 1

Pelo enunciado podemos tirar as seguintes informações: centro da elipse é o mesmo da hipérbole e pelas distâncias desses pontos podemos chegar em c h = a e e a h = c e que por consequência c h 2 = a e 2 e a h 2 = c e 2 . Tendo em mente esses dados vamos passar a equação da elipse para forma reduzida e encontrar para encontrar a e 2   e   c e 2 .

7 x 2 + 11 y 2 = 77 ∙ 1 77

x 2 11 + y 2 7 = 1

Agora temos a e 2 = 11 e b e 2 = 7 . Para achar c e 2 basta aplicar a Identidade Pitagórica para a elipse.

a e 2 =   b e 2 + c e 2

11 =   7 + c e 2

5 =   c e 2

Passo 2

Agora aplicando as igualdades estabelecidas antes temos c h 2 = a e 2 = 11 e a h 2 = c e 2 = 5 . Para achar b h 2 basta aplicar a Identidade Pitagórica para a hipérbole.

c h 2 =   a h 2 + b h 2

11 =   5 + b h 2

6 =   b h 2

Passo 3

Agora vamos montar a hipérbole

x 2 a h 2 - y 2 b h 2 = 1

x 2 5 - y 2 6 = 1

Resposta

x 2 5 - y 2 6 = 1

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