Enunciado

Em cada um dos problemas 38 a 43, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico.

25 x 2 - 44 y 2 + 40 y = 0

Passo 1

E aí, tudo joinha?

Bora resolver mais essa?

Seguinte, nos deram essa equação geral:

25 x 2 - 44 y 2 + 40 y = 0

E nos pediram a equação reduzida dela, que é de uma dessas formas aqui:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1

o u

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

Onde ( h , k ) é o centro, beleza?

Vamos lá então...

Passo 2

A gente tem que completar os quadrados na equação, então é o seguinte:

25 x 2 - 4 y 2 - 10 y = 0

25 x 2 - 4 y 2 - 10 y + 25 ⏟ - 25 = 0

25 x 2 - 4 y - 5 2 + 100 = 0

25 x 2 - 4 y - 5 2 = - 100

y - 5 2 25 - x 2 4 = 1

Prontinho! Chegamos à equação reduzida da hipérbole!

Passo 3

Agora a gente tem que achar os centros, os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas...

Bom, pela equação ali a gente tira que a = 5 ,   b = 2 e podemos achar o c utilizando a relação:

c 2 = 25 + 4

c 2 = 29

c = 29

Vemos também que a nossa hipérbole tem eixo real paralelo ao eixo y (a parte que tá positiva), então os vértices são determinados andando a unidades em y a partir do centro.

Aliás, o centro ali é C = ( 0,5 ) , certinho?

Passo 4

Vamos continuar então...

Os vértices são:

A 1 0,0     e     A 2 ( 0,10 )

Pra achar os focos a gente anda c   unidades a partir do centro:

F 1 0 ,   5 - 29     e       F 2 ( 0 ,   5 + 29 )

E excentricidade é e = c a , então:

e = 29 5

Falta achar as assíntotas, pra isso, a gente pode pegar nossa equação reduzida e igualar a zero:

y - 5 2 25 - x 2 4 = 0

Aí aqui a gente vai desenvolver essa expressão:

4 y - 5 2 100 - 25 x 2 100 = 0

4 y - 5 2 = 25 x 2

y - 5 2 = 25 4 x 2

y - 5 = ± 25 4 x 2

y - 5 ± 5 2 x

Então nossas assíntotas são:

y - 5 = 5 2 x → 5 x - 2 y + 10 = 0

y - 5 =   - 5 2 x → 5 x + 2 y - 10 = 0

Ufaaa! Todos os elementos da hipérbole foram encontrados! 😉

Passo 5

E pra encerrar com chave de ouro, o esboço do gráfico:

Resposta

Equação reduzida:   y - 5 2 25 - x 2 4 = 1

Centro: ( 0,5 )

Vértices:   A 1 0,0     e     A 2 ( 0,10 )

Focos:   F 1 0 ,   5 - 29     e       F 2 ( 0,5 + 29 )

Excentricidade:   e = 29 5

Assíntotas: 5 x - 2 y + 10 = 0 e 5 x + 2 y - 10 = 0

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Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole:Os vértices são 2,0 e - 2,0 e os focos, 3,0 e - 3,0 .Os vértices são - 15,0 e 15,0 e as assíntotas tem equações 5 y - 4 x = 0 e 5 y + 4 x = 0 .
A hipérbole H tem centro O, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos A e B. Escreva equações reduzidas de H e de suas assíntotas e determine os focos e vértices. A = 6 , 7 , B = - 1,0 . A
A hipérbole H tem centro O, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos A e B. Escreva equações reduzidas de H e de suas assíntotas e determine os focos e vértices. A = 6 , 7 , B = - 1,0 . A
A hipérbole H tem centro O, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos A e B. Escreva equações reduzidas de H e de suas assíntotas e determine os focos e vértices. A = 6 , 7 , B = - 1,0 . A
Prove que, se P = ( h , k ) pertence a região côncava determinada pela hipérbole H : x 2 p + y 2 q = 1 , existem duas retas tangentes a H que contêm P .