Enunciado

Prove que, se P = ( h , k ) pertence a região côncava determinada pela hipérbole H : x 2 p + y 2 q = 1 , existem duas retas tangentes a H que contêm P .

Passo 1

A equação da reta tangente sabendo que ( h , k ) é um ponto de tangência será dada por:

h x p + k y q = 1

E como ( a , b ) é um ponto que está na região côncava da hipérbole :

h a p + k b q = 1

Onde ( h , k ) é um ponto que pertence a hipérbole então:

h 2 p + k 2 q = 1

Passo 2

Isolando h na segunda equação nós teríamos:

h = p a - p k b a q

E aplicando esse valor de h na terceira equação teríamos:

p a - p k b a q 2 p + k 2 q = 1

Como conhecemos os valores de a e de p então nós teríamos aí sendo formada uma equação do segundo grau que nos dá dois valores para k (e por consequência dois valores para h ), existindo então até dois pontos de tangência, que representam duas retas tangentes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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