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Exercícios Resolvidos de Álgebra Linear 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - 6.6 - 13d

Para cada uma das seguintes matrizes simétricas A , encontrar uma matriz ortogonal P , para a qual P t A P seja diagonal.

A = 1 0 1 0 - 1 0 1 0 1

Passo 1

O problema fornece uma matriz simétrica A e pede para encontrarmos uma matriz ortogonal de modo que P t A P seja diaogonal.

Para isso, temos que lembrar que uma matriz simétrica é sempre diagonal e seus autovetores serão ortogonais entre si. Assim, a matriz de mudança de base P construída com os autovetores de A será ortogonal ( P t = P - 1 ). Desta forma, o que temos que fazer é encontrar os autovetores de A e normalizá-los para construir P !

O primeiro passo é encontrar os autovalores de A pela equação característica:

det ⁡ ( A - λ I ) = 0

Assim,

1 - λ 0 1 0 - 1 - λ 0 1 0 1 - λ = 0

Desta forma, desenvolvendo o determinante com relação a primeira linha:

1 - λ - 1 - λ 1 - λ - 0 + 1 ⋅ 0 - - 1 - λ = 0

Assim,

- 1 - λ 2 1 + λ + 1 + λ = 0 ⇒ 1 + λ 1 - 1 - λ 2 = 0

Portanto, os autovalores são

λ 1 = - 1 ,   λ 2 = 0   e   λ 3 = 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos procurar os autovetores:

A - λ I   v = 0

Para λ 1 = - 1 :

2 0 1 0 0 0 1 0 2 a b   c = 0 0 0

Assim, tiramos que

c = - 2 a             e               a = - 2 c ⇒ c = a = 0

Logo,

v 1 = a ,   b ,   c = 0 ,   b ,   0 = b   ( 0 ,   1 ,   0 )

Para que ele seja normalizado, b = 1 :

v 1 = 0 ,   1 ,   0

Já para o segundo autovalor λ 2 = 0 :

1 0 1 0 - 1 0 1 0 1 a b   c = 0 0 0

Assim, tiramos que

b = 0             e               a + c = 0 ⇒ c = - a

Logo,

v 2 = a ,   b ,   c = a ,   0 ,   - a = a   ( 1 ,   0 ,   - 1 )

Para que ele seja normalizado, a = 1 / 2 :

v 2 = 1 2 ,   0 , - 1 2

Por fim, para λ 3 = 2 :

- 1 0 1 0 - 3 0 1 0 - 1 a b   c = 0 0 0

Obtemos

b = 0               e             c = a

Logo,

v 3 = a ,   b ,   c = a ,   0 ,   a = a   ( 1 ,   0 ,   1 )

Para que ele seja normalizado, a = 1 / 2 :

v 3 = 1 2 ,   0 , 1 2

Note que os autovetores são ortogonais entre si.

Passo 3

Agora que temos os autovetores, basta construir a matriz P com eles:

P = 0 1 2 1 2 1 0 0 0 - 1 2 1 2

Com essa matriz,

P t A P = - 1 0 0 0 0 0 0 0 2

Resposta

P = 0 1 2 1 2 1 0 0 0 - 1 2 1 2

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