Enunciado

  1. Determinar as matrizes das rotações em R 2 que admitem valores e vetores próprios.
  2. Determinar os valores e os vetores próprios das rotações referidas em (a).

Passo 1

a) As matrizes de rotação em R 2 são da forma:

R = c o s θ - s e n θ s e n θ c o s θ

Queremos encontrar as matrizes desse formato que atendem a equação:

R v = λ v

Primeiro, pensa o seguinte. Essa equação quer dizer o que? Que multiplicado pela matriz, a única coisa que vai acontecer com o vetor é se esticar, comprimir ou virar pro outro lado. Ele não pode trocar de direção em hipótese alguma. Então essa é a dica! Quais rotações que não mudam a direção do vetor? Pois é, a de 0 ° e a de 180 ° . É isso!

R 0 ° = 1 0 0 1

R 180 ° = - 1 0 0 - 1

Passo 2

b) Vamos calcular os valores e vetores próprios das rotações que encontramos. Primeiro bora na de 0 ° :

det ⁡ R - λ I = 0

1 - λ 0 0 1 - λ = 0

1 - λ 2 = 0

Os valores próprios aqui são todos iguais a λ = 1 . Essa não é a matriz identidade? Como a gente já viu, todos os vetores são vetores próprios da matriz identidade, exceto o vetor nulo, porque a identidade mantém o vetor na mesma direção, que é exatamente o que a gente quer!

Passo 3

Agora vamos ver a de 180 ° :

det ⁡ R - λ I = 0

- 1 - λ 0 0 - 1 - λ = 0

- 1 - λ 2 = 0

Os valores próprios são todos iguais a - 1 . Aqui, os vetores próprios também são todos exceto o nulo, porque ao rodar de 180 ° , todo vetor continua na mesma direção!

Resposta

  1. R 0 ° = 1 0 0 1 , R 180 ° = - 1 0 0 - 1
  2. λ = 1 e λ = - 1 : todos os vetores, exceto o nulo.
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