Enunciado

Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz:

A = 1 3 - 1 5

Passo 1

Pra encontrar os valores próprios e os vetores próprios, vamos usar aquela parada que diz que A v = λ v . Arrumando, a equação, vamos obter:

A v = λ v

A - λ I v = 0

det ⁡ A - λ I = 0

Então é isso, pra achar os valores próprios a gente vai encontrar os valores de λ nessa equação. Por fim, a gente usa que M v = λ v de novo, pra encontrar os vetores próprios.

Passo 2

Bora pra conta!

det ⁡ A - λ I = 1 - λ 3 - 1 5 - λ

1 - λ 3 - 1 5 - λ = 0

1 - λ 5 - λ + 3 = 0

λ 2 - 6 λ + 5 + 3 = 0

λ 2 - 6 λ + 8 = 0

λ - 4 λ - 2 =

Resolvendo, vamos encontrar nossos dois valores próprios, λ 1 = 4 e λ 2 = 2 .

Passo 3

Agora vamos encontrar os vetores próprios: é só a gente substituir o valor de λ que encontramos na equação A - λ I v = 0 . Primeiro vamos botar λ = 4 :

A - 4 I v = 1 - 4 3 - 1 5 - 4 x y = 0 0

- 3 3 - 1 1 x y = 0 0

Multiplicando, vamos obter:

- x + y = 0

y = x

Então o vetor próprio de λ = 4 é da forma v = ( y ,   y ) .

Agora vamos ver λ = 2 :

A - 2 I v = 1 - 2 3 - 1 5 - 2 x y = 0 0

- 1 3 - 1 3 x y = 0 0

Multiplicando, vamos obter:

- x + 3 y = 0

x = 3 y

Então o vetor próprio de λ = 2 é da forma v = ( 3 y ,   y ) .

Resposta

λ 1 = 4 : v = y ,   y

λ 2 = 2 : v = ( 3 y ,   y )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas: T : R 4 → R 4 tal que T x , y , z , w = x , x + y , x + y + z , x + y + z + w .
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas: T : R 2 → R 2 tal que T x , y = ( 2 y , x )
Seja T : R 2 → R 2 x , y → y , 2 y Mostre que λ = 2 é um autovalor de T e vetores da forma ( x , 2 x ) são os autovetores correspondentes.
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: A = 1 02 - 1
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: A = 1 11 1