Enunciado

Efetuar uma rotação nos eixos coordenados a fim de eliminar o termo x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico.

2 x 2 + 4 x y + 2 y 2 = 16

Passo 1

O problema pede para efetuarmos uma rotação no sistema de coordenadas para obter a equação de uma cônica sem o termo misto x y . Para isso, usamos que

a x 2 + 2 b x y + c y 2 = x y   a b b c   x y

A grande sacada do problema é que procuramos um sistema de coordenadas x ' y ' em que a matriz do meio é diagonal. Para isso, temos que diagonalizá-la!

Neste problema, a matriz pode ser escrita como

2 2 2 2

Passo 2

Vamos procurar os autovalores da matriz pela equação característica:

2 - λ 2 2 2 - λ = 0

Assim,

2 - λ 2 - 4 = 0 ⇒ 2 - λ = ± 2

Logo,

λ 1 = 0               e               λ 2 = 4

Note que neste problema não temos termos lineares em x e y . Desta forma, você não vai precisar escrever x e y como função de x ' e y ' , de modo que não precisamos procurar os autovetores! 😊

Passo 3

Assim, efetuando a rotação para o sistema x ' y ' , teremos

x ' y '   0 0 0 4   x ' y ' = 4 y ' 2

Assim, a equação da cônica é

4 y ' 2 = 16

Logo,

y ' = ± 2

Trata-se de uma cônica degenerada em duas retas paralelas:

Resposta

y ' = ± 2

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A equação representa uma cônica degenerada. Identificá-la e esboçar o gráfico, quando possível. x 2 + y 2 - 6 x + 4 y + 13 = 0
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Efetuar uma rotação nos eixos coorenados a fim de eliminar o termo em x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico. 3 x 2 + 2 x y + 3