Enunciado

75. Calcular o volume do tetraedro A B C D , sendo dados:

a) A 1,0 , 0 , B 0,1 , 0 , C 0,0 , 1 e D 4,2 , 7

b) A - 1,3 , 2 , B 0,1 , - 1 , C - 2,0 , 1 e D 1 , - 2,0 . Para este, calcular também a medida da altura traçada do vértice A .

Passo 1

(b) Vamos primeiro calcular os vetores, né...

A B → = B - A

A B → = 1,0 , 0 - 0,1 , 0

A B → = 1 , - 1 , 0

A C → = C - A

A C → = ( 0,0 , 1 ) - 1,0 , 0

A C → = - 1 , 0 , 1

A D → = D - A

A D → = 4,2 , 7 - 1,0 , 0

A D → = 3 , 2 , 7

Passo 2

Bem.. agora só precisamos fazer o produto misto dos vetores e dividir por 6. O módulo do determinante dividido por 6 vai ser o volume.

V = 1 6 1 - 1 0 - 1 0 1 3 2 7

V = 1 6 1 0 7 + - 1 1 3 + 0 - 1 2 - 3 0 0 - 2 1 1 - 7 - 1 - 1

V = 2

Resposta

V = 2

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Seja E uma base ortonormal positiva.(c) Resolva o Exercício 12-9 no caso em que a = 2 ,b = 3 ,c = 3 ,α = 30 ° ,β = 45 ° ,γ = 60 ° , utilizando a igualdade do item (b).
Prove que:(a) u → ∧ v → , a → ∧ b → , x → ∧ y → = [ u → , a → , b → ] [ u → , x → , y → ] [ v → ,a → , b → ] [ v → , x → , y → ]
Seja E uma base ortonormal positiva.(b) Sejam u → ,v → ,w → ,x → ,y →ez → vetores quaisquer. Mostre que u → ,v → ,w → x → ,y → ,z → = u → . x → u → . y → u → . z → v → . x → v → . y → v → . z → w → .
Sejam ( a → ,b → ,c → ) uma base positiva, u → = a → ∧ b → ,v → = ( a → + b → ) ∧ c → e w → = ( b → ∧ a → ) ∧ a → .(a) Mostre que u → ,v → , w → é base e determine sua orientação.
Seja ( e 1 → ,e 2 → ,e 3 → ) uma base.(a) Prove que, para todo vetor x → , vale a igualdade x → = x → , e 2 → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → e 1 → + e 1 → , x → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → e 2 → + e