Enunciado

Calcule a área das bases de um prisma triangular reto cujas faces laterais estão contidas nos planos:

π 1 : z - 1 = 0                     π 2 : x + y - z + 1 = 0                     π 3 : x + y + z + 1 = 0

Passo 1

A ideia aqui é a seguinte, nós vamos desenhar esses três planos:

Percebe que dá pra encaixar um prisma aí entre esse planos? A gente quer calcular a área da base do prisma triangular reto que cabe ali.

O primeiro passo pra isso é encontrar as retas onde esses planos se intersectam, porque elas vão das as arestas do prisma:

Ok, então vamos procurar essas arestas.

Passo 2

Pra encontrar a interseção dos planos π 1 e π 2 , temos que resolver esse sistema:

z - 1 = 0 x + y - z + 1 = 0

Pela primeira equação temos:

z = 1

Substituindo isso na segunda:

x + y - 1 + 1 = 0

x + y = 0         ⇒           y = - x

Ou seja, nossa reta pode ser parametrizada da seguinte forma:

x = α y = - α z = 1         ⇒           X = 0,0 , 1 + α 1 , - 1,0

Para a interseção entre π 1 e π 3 o sistema é:

z - 1 = 0 x + y + z + 1 = 0

Fazendo quase a mesma coisa de antes:

z = 1

x + y + 1 + 1 = 0

x + y + 2 = 0         ⇒           y = - x - 2

Então a parametrização é:

x = β y = - β - 2 z = 1         ⇒           Y = 0 , - 2 , 1 + β 1 , - 1,0

E a interseção entre π 2 e π 3 tem esse sistema aqui:

x + y - z + 1 = 0 x + y + z + 1 = 0         ⇒           x + y + 1 = z x + y + 1 = - z        

Subtraindo as duas equações, descobrimos que:

x + y + 1 - x + y + 1 = 2 z         ⇒           z = 0

E substituindo isso em uma das outras equações:

x + y + 1 = 0

y = - x - 1         ⇒           y = - x - 1

Então a parametrização é:

x = γ y = - γ - 1 z = 0         ⇒           Z = 0 , - 1 , 0 + γ 1 , - 1,0

Ok, já temos as três retas.

Passo 3

Então ficamos com essas retas aqui:

X = 0,0 , 1 + α 1 , - 1,0 Y = 0 , - 2,1 + β 1 , - 1,0 Z = 0 , - 1,0 + γ 1 , - 1,0

Beleza, e nosso problema é: qual a área da base do prisma triangular reto que tem essas retas como arestas?

Bom, pra saber quais são os pontos dessas retas que vão formar nosso prisma, temos que encontrar o plano que seja perpendicular às três, e ver onde as retas cruzam esse plano.

Para um plano ser perpendicular a uma reta, ele precisa ter seu vetor normal paralelo ao vetor diretor da reta.

Se um plano tem vetor normal a , b , c , então a equação geral é:

a x + b y + c z + d = 0

Como todas as nossas retas tem vetor diretor 1 , - 1,0 , a equação do nosso plano é:

1 x + - 1 y + 0 z + d = 0

x - y + d = 0

E a constante d só muda a “posição inicial” do plano, então podemos escolher d = 0 sem problemas:

x - y = 0

Passo 4

Ok, próximo passo é: achar os pontos em que as nossas retas cruzam o plano.

A primeira reta tem:

X = 0,0 , 1 + α 1 , - 1,0         ⇒           x = α y = - α z = 1

Substituindo isso na equação do nosso plano:

x - y = 0

α - - α = 0         ⇒           2 α = 0

α = 0

A segunda reta tem:

Y = 0 , - 2,1 + β 1 , - 1,0         ⇒           x = β y = - β - 2 z = 1

Substituindo isso na equação do nosso plano:

x - y = 0

β - - β - 2 = 0         ⇒         2 β + 2 = 0

β = - 1

E a terceira reta:

Z = 0 , - 1,0 + γ 1 , - 1,0         ⇒           x = γ y = - γ - 1 z = 0

Substituindo isso na equação do nosso plano:

x - y = 0

γ - - γ - 1 = 0         ⇒         2 γ + 1 = 0

γ = - 1 2

Passo 5

Então, se as nossas equações de retas são:

X = 0,0 , 1 + α 1 , - 1,0 Y = 0 , - 2,1 + β 1 , - 1,0 Z = 0 , - 1,0 + γ 1 , - 1,0

Substituindo α = 0 , β = - 1 e γ = - 1 / 2 :

X = 0,0 , 1 + 0 1 , - 1,0 Y = 0 , - 2,1 + - 1 1 , - 1,0 Z = 0 , - 1,0 + - 1 2 1 , - 1,0

X = 0,0 , 1 Y = - 1 , - 1 , 1 Z = - 1 2 , - 1 2 , 0

Agora é só descobrir a área do triângulo (base do prisma) formado por esses três pontos X , Y e Z .

Daí vamos usar essa fórmula aqui:

A = 1 2 X Y → × X Z →

X Y → = Y - X = - 1 , - 1,1 - 0,0 , 1 = - 1 , - 1,0

X Z → = Z - X = - 1 2 ,   - 1 2 ,   0 - 0,0 , 1 = - 1 2 ,   - 1 2 , - 1

Começamos calculando esse produto vetorial:

X Y → × X Z → = x ^ y ^ z ^ - 1 - 1 0 - 1 / 2 - 1 / 2 - 1 = 1 , - 1,0

Tirando a norma desse vetor:

X Y → × X Z → = 1 , - 1,0 = 1 2 + - 1 2 + 0 2 = 2

Então a área que estamos procurando é:

A = 1 2 2 = 2 2

Resolvido!

Resposta

A área das bases do prisma triangular é 2 2 .

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