Enunciado

Obtenha uma equação geral do plano π em cada caso.

b) π contém A = ( 1 ,   0 ,   1 ) e B = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) e é paralelo a C D , sendo C = ( 1 ,   2 ,   1 ) e D = ( 0 ,   1 ,   0 ) .

Passo 1

Queremos uma equação geral do plano, então vamos precisar do seu vetor normal certo?

Para encontrar o vetor normal, vamos fazer o produto vetorial de A B → e C D → , pois esse produto será perpendicular aos dois vetores, que são paralelos ao plano, e então serão paralelos ao plano em si hahaha

Temos:

A B → = B - A = ( - 1 ,   1 ,   - 2 )

C D → = D - C = ( - 1 ,   - 1 ,   - 1 )

Então:

A B → ∧ C D → = ( - 3 ,   1 ,   2 )

Logo, sabemos que o vetor ( - 3 ,   1 ,   2 ) é um vetor normal do plano que queremos, então a equação vai ser desse tipo:

- 3 x + 1 y + 2 z + d = 0

Mas e agora para acharmos d ??

Passo 2

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto A (ou o ponto B ) na equação que encontramos, assim:

- 3 . 1 + 1 . 0 + 2 . 1 + d = 0

d = 1

Então uma equação geral do plano é:

- 3 x + 1 y + 2 z + 1 = 0

Resposta

b) - 3 x + 1 y + 2 z + 1 = 0

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