Enunciado

Calcule a distância do ponto P à reta r .

a) P = (0 , - 1 , 0) , r : x = 2 y - 3 = 2 z - 1

Passo 1

a) Da reta r , temos

x = 2 y - 3

E

2 z - 1 = 2 y - 3

2 z = 2 y - 2

z = y - 1

Então, a reta tem o formato

(x , y , z) = ( 2 y - 3 , y , y - 1 )

Trocando y por um parâmetro t , temos que um ponto genérico dessa reta é

A = ( 2 t - 3 , t , t - 1 )

Dando o valor t = 1 , temos um ponto arbitrário

A = ( - 1 , 1 , 0 )

Além disso, o vetor diretor vec r da reta r é dado pelos coeficientes de t , ou seja, os números que multiplicam ele:

vec r = ( 2 , 1 , 1 )

Passo 2

A fórmula de distância entre ponto e reta é

d (P , r) = (||vec A P ^^ vec r||)/(||vec r||)

Sabendo que vec A P = P - A = (0 , - 1 , 0) - (- 1 , 1 , 0) = ( 1 , - 2 , 0 ) , e lembrando que vec r = ( 2 , 1 , 1 ) , então:

d (P , r) = (||( 1 , - 2 , 0 ) ^^ ( 2 , 1 , 1 )||)/(||( 2 , 1 , 1 )||)

d (P , r) = (||( - 2 , - 1 , 5 )||)/(||( 2 , 1 , 1 )||)

Calculando os módulos:

d (P , r) = (sqrt(4 + 1 + 25))/(sqrt(4 + 1 + 1)) = (sqrt(30))/(sqrt(6)) = (sqrt(180))/(6) = (6 sqrt(5))/(6) = sqrt(5)

Resposta

a) d (P , r) = sqrt(5)

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