Enunciado

Calcule a projeção ortogonal de v → sobre u → em cada caso.

a) v → = ( 1 ,   - 1 ,   2 ) , u → = ( 3 ,   - 1 ,   1 ) .

b) v → = ( - 1 ,   1 ,   1 ) , u → = ( - 2 ,   1 ,   2 ) .

c) v → = ( 1 ,   3 ,   5 ) , u → = ( - 3 ,   1 ,   0 ) .

d) v → = ( 1 ,   2 ,   4 ) , u → = ( - 2 ,   - 4 ,   - 8 ) .

Passo 1

O exercício quer que calculemos a projeção ortogonal de v → sobre u → :

p r o j u →   v → = v → ⋅ u → u → 2   u →

No item (a), temos que

u → 2 = 3 2 + - 1 2 + 1 2 = 11

Já o produto escalar é

u → ⋅ v → = 3 + 1 + 2 = 6

Assim,

p r o j u →   v → = 6 11   3 ,   - 1 ,   1 = 18 11 , - 6 11 , 6 11

Passo 2

No item (b), temos que

u → 2 = ( - 2 ) 2 + 1 2 + 2 2 = 9

Já o produto escalar é

u → ⋅ v → = 2 + 1 + 2 = 5

Assim,

p r o j u →   v → = 5 9   - 2 ,   1 ,   2 = - 10 9 , 5 9 , 10 9

Passo 3

Já no item (c), temos que

u → 2 = ( - 3 ) 2 + 1 2 + 0 2 = 10

Já o produto escalar é

u → ⋅ v → = - 3 + 3 + 0 = 0

Assim,

p r o j u →   v → = 0 →

Passo 4

Por fim, no item (d), temos que

u → 2 = ( - 2 ) 2 + ( - 4 ) 2 + ( - 8 ) 2 = 4 + 16 + 64 = 84

Já o produto escalar é

u → ⋅ v → = - 2 - 8 - 32 = - 42

Assim,

p r o j u →   v → = - 42 84   - 2 ,   - 4 ,   - 8 = 1,2 , 4

Resposta

18 11 , - 6 11 , 6 11

- 10 9 , 5 9 , 10 9

( 0 ,   0 ,   0 )

1,2 , 4

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