Enunciado

Um certo computador consegue executar 100 gigaflops por segundo. Em cada caso, use a Fórmula ( 5 ) para encontrar o tempo necessário para resolver o sistema usando eliminação de Gauss-Jordan.

(a) Um sistema de 10.000 equações em 10.000 incógnitas.

(b) Um sistema de 10 0 . 000 equações em 1 0 0.000 incógnitas.

(c) Um sistema de 1 . 00 0.000 equações em 1 . 00 0.000 incógnitas.

Passo 1

Olá! Tudo bem? Iremos usar a Fórmula ( 5 ) do livro, que nos dá o número de flops nas duas fases (custo total), para encontrar o tempo necessário para resolver um sistema linear pela eliminação de Gauss-Jordan:

f l o p s   n a s   d u a s   f a s e s = 2 3 n 3 + 3 2 n 2 - 7 6 n

(a) Usando a Fórmula ( 5 ), para n = 1 0 . 000 , obtemos o número total de flops (custo total) necessários para resolver este sistema usando a eliminação de Gauss-Jordan. Ao dividir o custo total pelo número de flops por segundo, obtemos o número de segundos necessários para resolver este sistema.

Lembrando que 1 gigaflop é igual a 10 9 segundos e, portanto, 100 gigaflops são de 10 11 segundos.

Então temos:

C u s t o   t o t a l = 2 3 n 3 + 3 2 n 2 - 7 6 n = 2 3 ⋅ 10000 3 + 3 2 ⋅ 10000 2 - 7 6 ⋅ 10000

Logo

T e m p o   d e   r e s o l u ç ã o = C u s t o   t o t a l f l o p s   p o r   s e g u n d o

T e m p o   d e   r e s o l u ç ã o = 2 3 ⋅ 10 12 + 3 2 ⋅ 10 8 - 7 6 ⋅ 10 4 10 11 =

T e m p o   d e   r e s o l u ç ã o = 6,66816655   s

Passo 2

(b) Usando a Fórmula ( 5 ), para n = 1 0 0 . 000 , de modo semelhante ao item (a), temos:

C u s t o   t o t a l = 2 3 ⋅ 10 0 000 3 + 3 2 ⋅ 10 0 000 2 - 7 6 ⋅ 10 0 000

Logo

T e m p o   d e   r e s o l u ç ã o = C u s t o   t o t a l f l o p s   p o r   s e g u n d o

T e m p o   d e   r e s o l u ç ã o = 2 3 ⋅ 10 1 5 + 3 2 ⋅ 10 10 - 7 6 ⋅ 10 5 10 11 =

T e m p o   d e   r e s o l u ç ã o = 6 668 , 166 66 55   s

Passo 3

(c) Usando a Fórmula ( 5 ), para n = 1 . 0 00 . 000 , de modo semelhante ao item (a), temos:

C u s t o   t o t a l = 2 3 ⋅ 10000 0 0 3 + 3 2 ⋅ 100 0 000 2 - 7 6 ⋅ 100 0 000

Logo

T e m p o   d e   r e s o l u ç ã o = C u s t o   t o t a l f l o p s   p o r   s e g u n d o

T e m p o   d e   r e s o l u ç ã o = 2 3 ⋅ 10 1 8 + 3 2 ⋅ 10 1 2 - 7 6 ⋅ 10 6 10 11 =

T e m p o   d e   r e s o l u ç ã o = 666 6 816 , 666 6 55   s

Resposta

(a) 6,66816655   s

(b) 6668,1666655   s

(c) 6666816,666655   s

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