Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Classificar os seguintes subconjuntos do R 3 em L I ou L D .

  1. 2 ,   - 1 ,   3
  2. 1 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   1
  3. { 2 , - 1 ,   0 ,   - 1 ,   3 ,   0 ,   3 ,   5 ,   0 }
  4. 2 ,   1 ,   3 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 ,   5 ,   2
  5. { 1 ,   2 ,   - 1 ,   2 ,   4 ,   - 2 ,   1 ,   3 ,   0 }
  6. { 1 ,   - 1 ,   - 2 ,   2 ,   1 ,   1 ,   - 1 ,   0 ,   3 }
  7. { 1 ,   2 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 ,   2 ,   ( 3 ,   - 1 ,   2 ) }

Passo 1

Essa é igualzinha à anterior, mas agora estamos brincando no R 3 . Vou te ensinar uma parada que serve muito pra dizer se um conjunto é L D ou L I , mas atenção! Se estivermos no R n , só vale pra quando mexemos com n vetores. Pro nosso caso dessa questão, essa parada vai servir quando tivermos 3 vetores, já que estamos no R 3 . Para as duas primeiras, vamos manter normal: é só a gente procurar alguma combinação linear dos vetores que dê 0 . Se acharmos, eles são L D , mas se a única solução for com todos os coeficientes nulos, eles são L I . Bora lá!

  1. 2 , - 1 ,   3 :
  2. a 2 , - 1 ,   3 = 0 ,   0 ,  

    Pra esse, a única solução é a = 0 , e então esse subconjunto é L I .

    Passo 2

  3. { 1 , - 1 ,   1 ,   - 1 ,   1   , 1 }
  4. a 1 ,   - 1 ,   1 + b - 1 ,   1 ,   1 = ( 0 ,   0 ,   0 )

    a - b = 0 - a + b = 0 a + b = 0

    As duas equações primeiras equações são idênticas, porque trocando o sinal da segunda, chegamos na primeira. Vai sobrar só o sistema:

    a - b = 0 a + b = 0

    A solução dessa parada é a = b = 0 , e por isso, o subconjunto é L I .

    Passo 3

  5. { 2 , - 1 ,   0 ,   - 1 ,   3 ,   0 ,   3 ,   5 ,   0 }
  6. a 2 ,   - 1 ,   0 + b - 1 ,   3 ,   0 + c ( 3 ,   5 ,   0 ) = 0 ,   0 ,   0

    2 a - b + 3 c = 0 - a + 3 b + 5 c = 0 0 = 0

    Esse sistema tem mais incógnitas do que equações, isso quer dizer que, se tiver pelo menos uma solução, ele tem infinitas soluções (sistema possível indeterminado). Como tem diversas soluções, o conjunto é L D .

    Passo 4

  7. 2 ,   1 ,   3 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 ,   5 ,   2
  8. a 2 ,   1 ,   3 + b 0 ,   0 ,   0 + c 1 ,   5 ,   2 = ( 0 ,   0 ,   0 )

    2 a + c = 0 a + 5 c = 0 3 a + 2 c = 0

    A princípio, pode parecer que esse sistema só tem solução para a = c = 0 , e aí ele seria L I , mas prestenção numa parada: o b ainda tá livre! Ele pode ser qualquer valor diferente de 0 que vai continuar dando certo, sacou? Então o nosso subconjunto é L D .

    Passo 5

  9. 1 ,   2 ,   - 1 ,   2 ,   4 ,   - 2 ,   1 ,   3 ,   0
  10. O segundo vetor é parecidinho com o primeiro, mas só esticado de um fator 2 . Se tem dois vetores proporcionais, o nosso conjunto é L D .

    Passo 6

  11. { 1 ,   - 1 ,   - 2 ,   2 ,   1 ,   1 ,   - 1 ,   0 ,   3 }
  12. a 1 ,   - 1 ,   - 2 + b 2 ,   1 ,   1 + c - 1 ,   0 ,   3 = 0 ,   0 ,   0

    a + 2 b - c = 0 - a + b = 0 - 2 a + b + 3 c = 0

    Da segunda equação, a = b . Substituindo isso na primeira, vamos encontrar:

    a + 2 a - c = 0

    c = 3 a

    Da última:

    - 2 a + a + 3 c = 0

    c = a 3

    Mas se c = 3 a e c = a 3 ...

    3 a = a 3 → a = 0

    Daí b = c = 0 , e por isso o conjunto é L I .

    Passo 7

  13. 1 ,   2 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   - 1 ,   2

a 1 ,   2 ,   - 1 + b 1 ,   0 ,   0 + c 0 ,   1 ,   2 + d 3 ,   - 1 ,   2 = 0 ,   0 ,   0

a + b + 3 d = 0 2 a + c - d = 0 - a + 2 c + 2 d = 0

Esse sistema tem mais incógnitas que equações, e então, se tiver pelo menos uma solução, ele terá infinitas soluções (sistema possível indeterminado). Por isso, o conjunto é L D .

Resposta

  1. L I
  2. L I
  3. L D
  4. L D
  5. L D
  6. L I
  7. L D

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam u → e v → vetores quaisquer do R n . Prove que: u → ⊥ v → ⟺ u → + v → 2 = u → 2 + v → 2
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .
Generalize para o R n   ( n ≥ 3 ) os conceitos e resultados desta seção.
Calcule a norma do vetor dado. v → = 1 2 , 1 3
Sejam u → , v → dois vetores quaisquer do R n . Verifique que u → - v → ≥ u → - v →
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .
Prove que quaisquer que sejam u → e v → em R 3 u → ^ v → ≤ u → v →
Sejam u → , v , → w → e r → vetores quaisquer do R 3 ,com u → , v , → w → linearmente independentes. Prove que r → é combinação linear de u → , v , → w → ,   isto é, existem reais ...
Determinar k para que 1 0 1 0 ,   1 1 0 0 ,   2 - 1 k 0 seja L D .
Sejam u → , v → , w → vetores do R n tais que w → = α   u → + β   v → com α e β reais. Suponha u → e v → unitários ( u → = 1 e v → = 1 ) e ortogonais. Prove que α = u → ⋅ w → e β =...
Seja u → = u 1 , u 2 , u 3 , … , u n um vetor do R n   ( n ≥ 2 ) . Mostre que u → ≥ u i ,   i = 1,2 , … , n .
Sejam    u → e   v → dois vetores unitários e ortogonais do R 2 . Prove que u → e   v → são linearmente independentes.