Enunciado

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Nos problemas são apresentados transformações lineares. Para cada uma delas:

a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora?

b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora?

T :   R 3 → R 3 ,         T x , y , z = ( x - y - 2 z ,   - x + 2 y + z ,   x - 3 z )

Passo 1

A questão pede para encontramos uma base para o núcleo e para a imagem da transformação linear T .

O núcleo corresponde ao conjunto de elementos do domínio que são levados ao vetor nulo pela transformação. Assim, impomos

T x , y , z = ( 0,0 , 0 )

Fazendo isso, obtemos o sistema

x - y - 2 z = 0 - x + 2 y + z = 0 x - 3 z = 0

Da terceira equação

x = 3 z

Jogando nas outras duas

z - y = 0

- 2 z + 2 y = 0

Essas duas equações nos dão y = z .

Aí então o nosso sistema tem uma solução com um parâmetro livre

3 z , z , z = z 3,1 , 1

Então o nosso núcleo é

N T = 3,1 , 1

E a sua dimensão é

d i m N T = 1

E isso significa que T não é injetora.

Passo 2

Agora vamos procurar a imagem de T . Pelo teorema da dimensão:

dim ⁡ N ( T ) + dim ⁡ I m ( T ) = dim ⁡ R 3 = 3

Como dim ⁡ N ( T ) = 1 , segue que

dim ⁡ I m T = 2

Assim, uma base para a imagem deve conter dois elementos.

Pra fazer isso vamos reescrever a transformação T como matriz

T = 1 - 1 - 2 - 1 2 1 1 0 - 3

Pra achar a base da imagem, vamos primeiro pegar a transposta dessa matriz

T T = 1 - 1 1 - 1 2 0 - 2 1 - 3

Agora vamos escalonar

T T = 1 - 1 - 2 0 1 - 1 0 0 0

A base da imagem então será

I m ( T ) = 1 , - 1 , - 2 ,   0,1 , - 1

Como a dimensão da imagem é menor do que a dimensão do contra-domínio, T não é sobrejetora!

Resposta

a) N T = 3,1 , 1

dim ⁡ N ( T ) = 1

Não é injetora.

b)

I m T = 1 , - 1 , - 2 , 0,1 , - 1

dim ⁡ I m T = 2

Não é sobrejetora.

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