Enunciado

Classificar os seguintes subconjuntos do R^3 em L I ou L D .

  1. {(2 , - 1 , 3)}
  2. {(1 , - 1 , 1) , (- 1 , 1 , 1)}
  3. { (2 , - 1 , 0) , (- 1 , 3 , 0) , (3 , 5 , 0) }
  4. {(2 , 1 , 3) , (0 , 0 , 0) , (1 , 5 , 2)}
  5. { (1 , 2 , - 1) , (2 , 4 , - 2) , (1 , 3 , 0) }
  6. { (1 , - 1 , - 2) , (2 , 1 , 1) , (- 1 , 0 , 3) }
  7. { (1 , 2 , - 1) , (1 , 0 , 0) , (0 , 1 , 2) , ( 3 , - 1 , 2 ) }

Passo 1

Essa é igualzinha à anterior, mas agora estamos brincando no R^3 . Vou te ensinar uma parada que serve muito pra dizer se um conjunto é L D ou L I , mas atenção! Se estivermos no R^n , só vale pra quando mexemos com n vetores. Pro nosso caso dessa questão, essa parada vai servir quando tivermos 3 vetores, já que estamos no R^3 . Para as duas primeiras, vamos manter normal: é só a gente procurar alguma combinação linear dos vetores que dê 0 . Se acharmos, eles são L D , mas se a única solução for com todos os coeficientes nulos, eles são L I . Bora lá!

  1. {(2 , - 1 , 3)} :
  2. a (2 , - 1 , 3) = (0 , 0 ,)

    Pra esse, a única solução é a = 0 , e então esse subconjunto é L I .

    Passo 2

  3. { (1 , - 1 , 1) , (- 1 , 1 , 1) }
  4. a (1 , - 1 , 1) + b (- 1 , 1 , 1) = ( 0 , 0 , 0 )

    {[[a - b = 0],[- a + b = 0],[a + b = 0]])

    As duas equações primeiras equações são idênticas, porque trocando o sinal da segunda, chegamos na primeira. Vai sobrar só o sistema:

    {[[a - b = 0],[a + b = 0]])

    A solução dessa parada é a = b = 0 , e por isso, o subconjunto é L I .

    Passo 3

  5. { (2 , - 1 , 0) , (- 1 , 3 , 0) , (3 , 5 , 0) }
  6. a (2 , - 1 , 0) + b (- 1 , 3 , 0) + c ( 3 , 5 , 0 ) = (0 , 0 , 0)

    {[[2 a - b + 3 c = 0],[- a + 3 b + 5 c = 0],[0 = 0]])

    Esse sistema tem mais incógnitas do que equações, isso quer dizer que, se tiver pelo menos uma solução, ele tem infinitas soluções (sistema possível indeterminado). Como tem diversas soluções, o conjunto é L D .

    Passo 4

  7. {(2 , 1 , 3) , (0 , 0 , 0) , (1 , 5 , 2)}
  8. a (2 , 1 , 3) + b (0 , 0 , 0) + c (1 , 5 , 2) = ( 0 , 0 , 0 )

    {[[2 a + c = 0],[a + 5 c = 0],[3 a + 2 c = 0]])

    A princípio, pode parecer que esse sistema só tem solução para a = c = 0 , e aí ele seria L I , mas prestenção numa parada: o b ainda tá livre! Ele pode ser qualquer valor diferente de 0 que vai continuar dando certo, sacou? Então o nosso subconjunto é L D .

    Passo 5

  9. {(1 , 2 , - 1) , (2 , 4 , - 2) , (1 , 3 , 0)}
  10. O segundo vetor é parecidinho com o primeiro, mas só esticado de um fator 2 . Se tem dois vetores proporcionais, o nosso conjunto é L D .

    Passo 6

  11. { (1 , - 1 , - 2) , (2 , 1 , 1) , (- 1 , 0 , 3) }
  12. a (1 , - 1 , - 2) + b (2 , 1 , 1) + c (- 1 , 0 , 3) = (0 , 0 , 0)

    {[[a + 2 b - c = 0],[- a + b = 0],[- 2 a + b + 3 c = 0]])

    Da segunda equação, a = b . Substituindo isso na primeira, vamos encontrar:

    a + 2 a - c = 0

    c = 3 a

    Da última:

    - 2 a + a + 3 c = 0

    c = (a)/(3)

    Mas se c = 3 a e c = (a)/(3) ...

    3 a = (a)/(3) -> a = 0

    Daí b = c = 0 , e por isso o conjunto é L I .

    Passo 7

  13. {(1 , 2 , - 1) , (1 , 0 , 0) , (0 , 1 , 2) , (3 , - 1 , 2)}

a (1 , 2 , - 1) + b (1 , 0 , 0) + c (0 , 1 , 2) + d (3 , - 1 , 2) = (0 , 0 , 0)

{[[a + b + 3 d = 0],[2 a + c - d = 0],[- a + 2 c + 2 d = 0]])

Esse sistema tem mais incógnitas que equações, e então, se tiver pelo menos uma solução, ele terá infinitas soluções (sistema possível indeterminado). Por isso, o conjunto é L D .

Resposta

  1. L I
  2. L I
  3. L D
  4. L D
  5. L D
  6. L I
  7. L D
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Exercícios de Livros Relacionados

Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores do R 4 são L D ? 2 ,1 ,0, 0 ,1 ,0 ,2 ,1 ,- 1 ,2 ,0 ,- 1 0 ,1 ,0 ,- 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,- 1 ,2 ,0 ,1 ,1 ,2 ,1 ,0 1 ,- 1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,- 1 ,1 ,2 ,1 ,- 2
Quais dos seguintes conjuntos de vetores pertencentes ao P 2 são L D ? 2 + x - x 2 ,- 4 - x + 4 x 2 , x + 2 x 2 1 - x + 2 x 2 ,x - x 2 ,x 2 1 + 3 x + x 2 ,2 - x - x 2 ,1 + 2 x - 3 x 2 ,- 2 + x + 3 x 2
Os vetores V 1 = ( 5 , - 3,1 ) , V 2 = ( 0,4 , 3 ) e V 3 = ( - 10,18,7 ) do exercício anterior sao L.D. ou L.I.? Caso sejam L.D. escreva um deles como combinação linear dos outros.