Enunciado

Classifique a forma quadrática como positiva, negativa, indefinida, não negativa ou não positiva.

( x 1 - x 2 ) 2

Passo 1

Vamos lá pessoal, essa questão não é difícil! Vamos resolver juntos! Temos a seguinte equação:

( x 1 - x 2 ) 2

x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2  

Reescrevendo ela em forma matricial, temos:

x T A x = x 1 x 2 . 1 - 1 - 1 1 . x 1 x 2

Passo 2

Vish! Essa aqui não dá pra tirar os autovalores no olho. Vamos ter que calcular o polinômio característico da matriz A definido como:

det ⁡ λ I - A = 0

det ⁡ λ 0 0 λ - 1 - 1 - 1 1 = 0

d e t λ - 1 1 1 λ - 1 = 0

λ 2 - 2 λ = 0

λ ( λ - 2 ) = 0

Passo 3

Agora, precisamos calcular os autovalores, ou seja, as raízes do polinômio característico:

λ ( λ - 2 ) = 0

Ficou fácil né galera? Esse polinômio é nulo para os valores 0 e 2 ! Portanto, os autovalores são:

λ 1 = 0                       λ 2 = 2

Passo 4

Como podemos observar, os autovalores dessa matriz são λ 1 = 0 e λ 2 = 2 . O primeiro é nulo e o segundo é positivo, portanto, como a matriz apresenta tanto um autovalor positivo quanto um autovalor nulo, a matriz é positiva semidefinida ou, se preferir chamar assim, não negativa.

Resposta

Portanto, lá vai o gabarito! A matriz A é não negativa.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Classifique a forma quadrática como positiva, negativa, indefinida, não negativa ou não positiva. - ( x 1 - x 2 ) 2
Mostre que a matriz A é positiva usando primeiro o Teorema 7.3.2 e depois o Teorema 7.3.4. a )A = 2 1 1 2 b )A = 3 - 1 0 - 1 2 - 1 0 - 1 3
Identifique o tipo de cônica representada pela equação dada abaixo girando os eixos para colocar a cônica em posição canônica. Encontre a equação da cônica no sistema de coordenadas girado e determine
Mostre que a matriz A é positiva usando primeiro o Teorema 7.3.2 e depois o Teorema 7.3.4. a )A = 5 - 2 - 2 5 b )A = 2 - 1 0 - 1 2 0 0 0 5