Enunciado

Mostre que a matriz A é positiva usando primeiro o Teorema 7.3.2 e depois o Teorema 7.3.4.

a )   A = 2 1 1 2         b )   A = 3 - 1 0 - 1 2 - 1 0 - 1 3

Passo 1

Vamos lá pessoal, essa questão não é difícil! Vamos resolver juntos! Temos a seguinte matriz:

A = 2 1 1 2      

O teorema 7.3.2 nos diz:

“ S e j a   A   u m a   m a t r i z   s i m é t r i c a .   V a l e m   a s   a f i r m a ç õ e s :

( a )   x T A x   é   p o s i t i v a   s e ,   e   s ó   s e ,   t o d o s   o s   a u t o v a l o r e s   d e   A   s ã o   p o s i t i v o s .

( b )   x T A x   é   n e g a t i v a   s e ,   e   s ó   s e ,   t o d o s   o s   a u t o v a l o r e s   d e   A   s ã o   n e g a t i v o s .

( c )   x T A x   é   i n d e f i n i d a   s e ,   e   s ó   s e ,   A   t e m   p e l o   m e n o s   u m   a u t o v a l o r   p o s i t i v o

              e   p e l o   m e n o s   u m   a u t o v a l o r   n e g a t i v o . "

Já o teorema 7.3.4 nos diz:

U m a   m a t r i z   s i m é t r i c a   A   é   p o s i t i v a   s e ,   e   s ó   s e ,   o   d e t e r m i n a n t e   d e   c a d a

s u b m a t r i z   p r i n c i p a l   é   p o s i t i v o . "

Passo 2

Vamos começar resolvendo pelo teorema 7.3.2. Precisamos então encontrar os autovalores da matriz A ! Para isso, vamos calcular o polinômio característico:

det ⁡ λ I - A = 0

det ⁡ λ 0 0 λ - 2 1 1 2 = 0

d e t λ - 2 - 1 - 1 λ - 2 = 0

λ 2 - 4 λ + 3 = 0

Passo 3

Agora, precisamos calcular os autovalores, ou seja, as raízes do polinômio característico:

λ 2 - 4 λ + 3 = 0

Para isso, primeiro calculamos o valor de delta:

∆   =   b 2 - 4 a c

∆   = ( - 4 ) 2 - 4 . 1 . 3

∆   =   4

Agora que encontramos o valor de delta, aplicamos a fórmula de Bhaskara:

λ 1,2 =   - b   ± ∆ 2 a

λ 1,2 = - ( - 4 ) ± 4 2 . ( 1 )

Portanto, os autovalores são:

λ 1 = 3                       λ 2 = 1

Passo 4

Como podemos observar, os autovalores dessa matriz são λ 1 = 3 e λ 2 = 1 . Ambos são positivos, portanto, como a matriz apresenta todos os autovalores positivos, a matriz é positiva definida ou, se preferir chamar assim, positiva pelo teorema 7.3.2.

Passo 5

Metade da primeira letra já foi galera! Agora vamos aplicar o teorema 7.3.4! Vamos calcular o determinante das submatrizes principais:

5 = 5                     2 1 1 2 = 4 - 1 = 3

Passo 6

Como podemos observar, os determinantes das submatrizes são ambos positivos, portanto, como a matriz apresenta o determinante de cada submatriz principal positivo, a matriz é positiva definida ou, se preferir chamar assim, positiva pelo teorema 7.3.4.

Passo 7

Vamos continuar para a letra b ) :

A = 3 - 1 0 - 1 2 - 1 0 - 1 3

Vamos começar resolvendo pelo teorema 7.3.2. Precisamos então encontrar os autovalores da matriz A ! Para isso, vamos calcular o polinômio característico:

det ⁡ λ I - A = 0

det ⁡ λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ - 3 - 1 0 - 1 2 - 1 0 - 1 3 = 0

d e t λ - 3 1 0 1 λ - 2 1 0 1 λ - 3 = 0

λ - 3 2 λ - 2 - 2 ( λ - 3 ) = 0

λ - 3 ( λ - 3 λ - 2 - 2 ) = 0

λ - 3 ( λ 2 - 5 λ + 4 ) = 0

Passo 8

Agora, precisamos calcular os autovalores, ou seja, as raízes do polinômio característico:

λ - 3 ( λ 2 - 5 λ + 4 ) = 0

Ficou fácil um dos autovalores né galera? Esse polinômio é nulo para o valor 3 ! Portanto, um autovalor é:

λ 1 = 3  

Agora, precisamos calcular os outros autovalores, ou seja, as raízes da equação:

λ 2 - 5 λ + 4 = 0

Para isso, primeiro calculamos o valor de delta:

∆   =   b 2 - 4 a c

∆   = ( - 5 ) 2 - 4 . 1 . 4

∆   =   9

Agora que encontramos o valor de delta, aplicamos a fórmula de Bhaskara:

λ 1,2 =   - b   ± ∆ 2 a

λ 1,2 = - ( - 5 ) ± 9 2 . ( 1 )

Portanto, os autovalores são:

    λ 2 = 4                       λ 3 = 1

Portanto, os autovalores do polinômio característico são:

λ 1 = 3                     λ 2 = 4                       λ 3 = 1  

Passo 9

Como podemos observar, os autovalores dessa matriz são λ 1 = 3 , λ 2 = 4 e λ 3 = 1 . Todos são positivos, portanto, como a matriz apresenta todos os autovalores positivos, a matriz é positiva definida ou, se preferir chamar assim, positiva pelo teorema 7.3.2.

Passo 10

Metade da segunda letra já foi galera! Tá acabando! Agora vamos aplicar o teorema 7.3.4! Vamos calcular o determinante das submatrizes principais:

3 = 3                     3 - 1 - 1 2 = 6 - 1 = 5                     3 - 1 0 - 1 2 - 1 0 - 1 3 = 18 - 6 = 12

Passo 11

Como podemos observar, os determinantes das submatrizes são todos positivos, portanto, como a matriz apresenta o determinante de cada submatriz principal positivo, a matriz é positiva definida ou, se preferir chamar assim, positiva pelo teorema 7.3.4.

Resposta

Portanto, lá vai o gabarito!

a ) A matriz A é positiva para ambos os teoremas.

b ) A matriz A é positiva para ambos os teoremas.

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