Enunciado

Completando os quadrados, decida se cada uma das equações abaixo define uma circunferência, um ponto ou o conjunto vazio:

c) x² + y² - 10x +2y + 26 = 0;

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

Vamos completar os quadrados da equação x 2 + y 2 - 10 x + 2 y + 26 = 0 .

Para começar vamos manipular matematicamente os termos que possuem a variável e tentar completar um produto notável do tipo a + b 2 = a 2 + 2 a b + b ² .

Começando com a variável x, queremos completar o trinômio x 2 - 10 x .

Teremos:

a =   1 ; b =   - 10 2 = - 5

Logo, o quadrado perfeito é:

x - 5 2 =   x 2 - 10 x + 25

Portanto, o termo que faltava para completar o quadrado é 25 .

Iremos somar ele em ambos os lados da equação inicial.

De modo análogo, para a variável y, teremos o trinômio y 2 + 2 y .

Onde:

a =   1 ; b = 2 2 = 1

Logo, o quadrado perfeito é:

y + 1 2 =   y 2 + 2 y + 1

Portanto, o termo que faltava para completar o quadrado é 1 .

Iremos somar ele em ambos os lados da equação inicial.

Voltando à nossa equação inicial, teremos:

x 2 + y 2 - 10 x + 2 y + 26 = 0

Que pode ser reescrita como:

x 2 - 10 x + y 2 + 2 y = - 26

Vamos agora somar os dois valores encontrados para completar os quadrados em ambos os lados da equação.

x 2 - 10 x + 25 + y 2 + 2 y + 1 = - 26 + 25 + 1

Ajustando os quadrados, teremos:

x - 5 2 + y + 1 2 = 0

x - 5 2 + y + 1 2 = 0 2

Tal equação define uma circunferência de centro C = 5 , - 1 e raio r = 0 .

Porém, pela lógica, uma circunferência de raio zero se define como apenas um ponto com coordenadas 5 , - 1 .

Resposta

Tal equação o ponto P = 5 , - 1 .

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