Enunciado

Completar as verificações nos exercícios 1, 2, e 3 anteriores.

Passo 1

Exercício 01

Como já vimos

R 2 = x , y | x , y   ∈   R

Pode ser visto como espaço vetorial sobre R desde que se definam adição e multiplicação por um número real assim:

x 1 , y 1 +   x 2 , y 2 =   ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 )

a x , y = a x , a y  

Faremos aqui a verificação dos axiomas da adição.

I - a: u + v = v + u

x 1 , y 1 +   x 2 , y 2 =   x 1 + x 2 , y 1 + y 2 = x 2 + x 1 , y 2 + y 1 = x 2 , y 2 +   x 1 , y 1  

I - b: u + v + w = u + v + w

x 1 , y 1 + x 2 , y 2 + x 3 , y 3 = x 1 , y 1 + x 2 + x 3 , y 2 + y 3   = x 1 + x 2 + x 3 , y 1 + y 2 + y 3 = [ x 1 + x 2 , y 1 + y 2 + x 3 , y 3 = [ x 1 , y 1 + x 2 , y 2 ] + x 3 , y 3

I - c: O vetor nulo é ( 0,0 , 0 )

x 1 , y 1 +   0,0 = x 1 , y 1

Exercício 02

O R 3 é o conjunto de todas as ternas ordenadas de números reais. Ou seja: R 3 = x , y , z | x , y , z   ∈   R . A adição e a multiplicação por escalares são definidas no R 3 por:

x 1 , y 1 , z 1 , +   x 2 , y 2 , z 2 , =   ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ,   z 1 + z 2 )

a x , y , z = a x , a y , a z  

Faremos aqui a verificação dos axiomas da multiplicação.

II - a: a b u = a ( b u )

a b x , y , z = a b x , a b y , a b z = a b x , a b y , a b z = a b x , b y , b z = a ( b ( x , y , z ) )

II - b: a + b u = a u + b u

a + b x , y , z = a + b x , a + b y , a + b z = a x + b x , a y + b y , a z + b z = a x , a y , a z + b x , b y , b z = a x , y , x + b ( x , y , z )

II – c: a u + v = a u + a v

a ( x 1 , y 1 , z 1 + ( x 2 , y 2 , z 2 ) ) = a ( x 1 + x 2 ,   y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) = ( a x 1 + x 2 , a y 1 + y 2 ,   a z 1 + z 2 = a x 1 , y 1 , z 1 + a ( x 2 , y 2 , z 2 )

II – d: 1 u = u

1 x , y , x = 1 x , 1 y , 1 z = ( x , y , z )

Exercício 03

Seja I   um intervalo de R e indiquemos por C ( I ) o conjunto das funções contínuas definidas no intervalo I e tomando valores reais. Dados f , g   ∈ C I e a ∈ R , definem-se f + g e a f do seguinte modo:

f + g * : I ⟶ R   e   f + g t = f t + g t ,     p a r a   t o d o   t   ∈ I  

a f : I ⟶ R     e   a f t = a f t ,     p a r a   t o d o   t   ∈ I    

I – b: u + v = v + u

f t + g t = f + g t = g + f t = g t + f ( t )

I – d: O termo oposto será

f t + - f t = 0

II – b:

a + b f t = a f t + b f t = a f t + b f ( t )

II – d: 1 u = u

1 f t = 1 f t = f ( t )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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