Enunciado

Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?

c) 1 +   x +   x 2 ,   x +   x 2 ,   x 2

Passo 1

Vamos lá! Para um conjunto de vetores ser base, ele precisa ser necessariamente linearmente independente.

Fazendo a combinação linear entre os 3 polinômios temos:

a ⋅ u 1 + b ⋅ u 2 + c ⋅ u 3 = 0

a ⋅ 1 +   x +   x 2   + b ⋅ x +   x 2 + c ⋅ ( x 2 ) = 0

Sendo:

p 1 = 1 +   x +   x 2   ,   p 2 = x +   x 2 ,   x 2 .

Esse tipo de sistema tem como usar uma regrinha especial pra analisá-lo, vamos fazer uma matriz canônica 3 x 3 sendo nossos vetores os vetores colunares da nossa matriz, assim temos:

p 3 , p 2 ,   p 1 = 1 1 1 0 1 1 0 0 1

Como nossa matriz está na forma escalonada nosso conjunto de vetores será necessariamente L.I.

Dica: Sempre que um conjunto de vetores poder ser arranjado na forma escalonada ele será necessariamente L.I.

Passo 2

Agora precisamos verificar se nosso conjunto de vetores gera nosso P 2 , assim:

a ⋅ 1 +   x +   x 2   + b ⋅ x +   x 2 + c ⋅ x 2 = k 1 + k 2 x + k 3 x 2

a = k 1 ,   b = k 2 - k 1 ,   c = k 3 - k 2

k 1 ⋅ 1 +   x +   x 2   + k 2 - k 1 ⋅ x +   x 2 + k 3 - k 2 ⋅ x 2 → k 1 + k 2 x + k 3 x 2

Logo nosso conjunto gera todo o P 2 , assim nosso conjunto é base de P 2 !

Isso é tudo pessoal!

Resposta

É base.

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