Enunciado

Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?

a) 1 -   3 x +   2 x 2 ,   1 +   x +   4 x 2 ,   1 -   7 x

Passo 1

Vamos lá! Para um conjunto de vetores ser base, ele precisa ser necessariamente linearmente independente.

Fazendo a combinação linear entre os 3 polinômios temos:

a ⋅ u 1 + b ⋅ u 2 + c ⋅ u 3 = 0

a ⋅ 1 -   3 x +   2 x 2   + b ⋅ 1 +   x +   4 x 2 + c ⋅ ( 1 -   7 x ) = 0

Vamos fazer a = - 2 , b = 1 ,   c = - 1

- 2 ⋅ 1 -   3 x +   2 x 2   + 1 ⋅ 1 +   x +   4 x 2 + 1 ⋅ 1 -   7 x

= - 2 + 1 + 1 + 6 x + x - 7 x + ( - 4 x 2 + 4 x 2 )

- 2 + 1 + 1 + 6 x + x - 7 x + ( - 4 x 2 + 4 x 2 ) = 0

Como nossa combinação linear aceita uma solução não trivial logo nosso sistema é linearmente dependente, assim nosso conjunto de vetores não é base de P 2 .

Resposta

Não é base.

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