Enunciado

Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus pontos, os pontos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.

x + 2 y + 3 z = 0 2 x + y + 3 z = 0 3 x + 2 y + z = 0

Passo 1

Primeiro vamos escrever a matriz ampliada associada ao sistema:

1 2 3 2 1 3 3 2 1         0 0 0

Vamos lá, agora vamos usar as operações de multiplicação e soma da matriz para reduzir a matriz à forma escada:

Primeiro fazendo L 2 = - 2 L 1 + L 2 :

1 2 3 0 - 3 - 3 3 2 1         0 0 0

Agora fazendo L 3 = - 3 L 1 + L 3 :

1 2 3 0 - 3 - 3 0 - 4 - 8         0 0 0

Aqui vamos fazer L 2 = - 1 3 L 2 :

1 2 3 0 1 1 0 - 4 - 8         0 0 0

Agora L 3 = - 4 L 2 + L 3 :

1 2 3 0 1 1 0 0 - 4         0 0 0

Aqui vamos fazer L 3 = - 1 4 L 3 :

1 2 3 0 1 1 0 0 1         0 0 0

Calma, tá acabando, fazendo L 2 = - L 3 + L 2 :

1 2 3 0 1 0 0 0 1         0 0 0

E aqui vamos fazer L 1 = - 3 L 3 + L 1 :

1 2 0 0 1 0 0 0 1         0 0 0

Pronto, por último vamos fazer L 1 = - 2 L 2 + L 1 :

1 0 0 0 1 0 0 0 1         0 0 0

Pronto, achamos a matriz ampliada linha reduzida à forma escada.

O posto é o número de linhas não nulas, assim o posto é p = 3 .

O posto da matriz dos coeficientes é p = 3 .

Passo 2

Agora tá simples de acharmos as soluções:

x = 0 y = 0 z = 0

O grau de liberdade é a diferença entre o número de variáveis e o número de equações não nulas na forma escada, assim aqui o valor é:

3 - 3 = 0

Resposta

Matriz ampliada reduzida a forma escada: 1 0 0 0 1 0 0 0 1         0 0 0

Posto é 3

Posto da matriz dos coeficientes é 3

x = 0 y = 0 z = 0

Grau de liberdade é 0

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Se AB = BA e p é um inteiro positivo, mostre que ( A B ) p = A p B p .
Sejam A, B e C matrizes nxn. ( A + B ) 2 = A 2 + 2 A B + B 2 ? E se AB = BA? Justifique
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b) Determine todas as matrizes A, 2x2, que comutam com toda matriz B, 2x2, ou seja, tais que AB = BA, para toda matriz B, 2x2.