Enunciado

Considere uma economia aberta com matriz de consumo C = c 11 c 12 c 21 0 .

Mostre que a equação Leontief x - C x = d tem uma solução única com cada vetor demanda d se c 21 c 12 < 1 - c 11 .

Passo 1

O enunciado pede para usarmos da equação de Leontief a fim de achar a matriz I - C - 1 e mostrar a condição de existência dela.

Como é uma matriz quadrada, podemos usar do algoritmo

A - 1 = 1 a d - c b d - b - c a

Então, vamos reescrever a equação de Leontief e achar uma matriz para ser invertida.

Passo 2

A equação é x - C x = d , colocando o x em evidência, temos:

I - C x = d

Portanto, para acharmos x , temos que:

I - C - 1 . d = x

Passo 3

Como a matriz I - C é dada por I - C = 1 - c 11 - c 12 - c 21 1

Usando do algoritmo do passo 1, temos que

I - C - 1 = 1 1 - c 11 - c 21 c 12 1 c 12 c 21 1 - c 11

Passo 4

Analisando I - C - 1 = 1 1 - c 11 - c 21 c 12 1 c 12 c 21 1 - c 11 , temos que pegar a condição de que a equação de Leontief trabalha com entradas postivas.

Portanto, 1 - c 11 - c 21 c 12 precisa ser positivo e diferente de zero.

Assim:

1 - c 11 - c 21 c 12 > 0

Como queríamos demosntrar.

Resposta

1 - c 11 - c 21 c 12 > 0

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