Enunciado

Considere [ - a , a ] um intervalo simétrico e C 1 [ - a , a ] o conjunto das funções reais definidas no intervalo [ - a , a ] que possuem derivadas contínuas no intervalo. Sejam ainda os subconjuntos V 1 = { f x ∈ C 1 [ - a , a ] | f - x = f x ,   ∀ x ∈ [ - a , a ] } e V 2 = { f x ∈ C 1 [ - a , a ] | f - x = - f x ,   ∀ x ∈ [ - a , a ] } .

  1. Mostre que C 1 [ - a , a ] é um espaço vetorial real.
  2. Mostre que V 1 e V 2 são subespaços de C 1 [ - a , a ] .
  3. Mostre que V 1 ⨁ V 2 = C 1 [ - a , a ] .

Passo 1

  1. Para resolver esse item não há mistério: devemos verificar se as propriedades do espaço vetoriais pertencem a esse conjunto.
  2. Passo 2

    Na página 103 estão descritas as 8 propriedades que um espaço vetorial deve satisfazer. As funções com derivadas contínuas resultam em números reais, do que temos que as propriedades de i a v i i i devem ser satisfeitas pelas funções, sendo a função nula f ( x ) ≡ 0 o elemento neutro desse espaço.

    Passo 3

  3. Para mostrar que V 1 e V 2 são subespaços vetoriais, devemos mostrar que eles são fechados para a soma e para a multiplicação por escalar.
  4. Passo 4

    Para V 1 , devemos mostrar que a soma de funções pares com derivadas contínuas é uma função par com derivadas contínuas e o mesmo para o produto por escalar.

    Sejam g   e   f pertencentes a V 1 . Então:

    h - x = f - x + g - x = f x + g x = h ( x )

    Além disso, sejam f ' e   g ' as derivadas dessas funções, que são contínuas. Então:

    h ' x = f ' x + g ' ( x )

    Como h ' é a soma de funções contínuas, segue que ela é contínua.

    Logo, h ( x ) é uma função par com derivada contínua, do que a gente tem que h x ∈ V 1 .

    Passo 5

    Seja agora f x ∈ V 1 , então:

    h x = a f x = a f - x = h ( - x )

    Além disso:

    h ' x = a f ' x

    Como h ' é o produto de um escalar por uma função contínua, segue que h ' também é contínua.

    Dessa forma, h ∈ V 1 .

    Considerando esse passo e o anterior, a gente pode concluir que V 1 é fechado para soma e multiplicação por escalar, do que segue que ele é um subspaço de C 1 [ - a , a ] .

    Passo 6

    Procedendo de maneira completamente análoga, chega-se a mesma conclusão para V 2 .

    Passo 7

  5. O que o problema nos pede é: é possível representar todas as funções com derivadas contínuas como a soma de duas funções, uma par e uma ímpar?

Para responder essa pergunta, vamos investigar se dada h ∈ C 1 [ - a , a ] , existem duas funções f ∈ V 1 e g ∈ V 2 tais que:

h x = f x + g ( x )

Veja que:

h - x = f - x + g - x = f x - g ( x )

Somando as duas equações a gente tem:

h x + h - x = 2 f x ⇒ h x + h ( - x ) 2 = f ( x )

E substituindo na primeira equação, a gente obtém:

g x = h x - h ( - x ) 2

Ou seja, dada uma função h de C 1 [ - a , a ] , basta escolher f   e   g como encontrado acima.

Resposta

Demonstração.

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