Enunciado

Considere o seguinte sub-espaço vetorial de M 2 R :

U = x y z t | x - y - z = 0

  1. Mostrar que os seguintes subconjuntos de M 2 R são bases de U .
  2. B = 1 1 0 0 , 1 0 1 0 , 0 0 0 1

    C = 1 0 1 0 , 0 - 1 1 0 , 0 0 0 1

  3. Achar a matriz de mudança de B para C e a de C para B .
  4. Achar uma base D de U , de tal maneira que a matriz de mudan;a de D para B seja?

1 1 0 0 0 2 0 3 1

Passo 1

Vamos começar resolvendo a letra a). É bom que já começamos a questão na vantagem. Já sabemos que os conjuntos B e C são bases de U .

Então, primeiro vamos determinar uma base para U utilizando a relação do enunciado da questão. Portanto,

x y z t = y + z y z t = z 0 z 0 + y y 0 0 + 0 0 0 t

z 1 0 1 0 + y 1 1 0 0 + t 0 0 0 1

Então, a base para U que obtivemos foi E = 1 0 1 0 , 1 1 0 0 , 0 0 0 1 . Percebam que temos matrizes semelhantes em relação aos conjuntos B e C . Em especial, em relação a matriz B , percebemos que temos exatamente as mesmas matrizes!

Então, como as matrizes são as mesmas, acabamos de verificar que B também é uma base para U (não importa a ordem das matrizes, apenas que elas estejam lá).

Passo 2

E agora, o que temos que fazer em relação ao conjunto C ? Vamos começar relembrando tanto ele quanto o conjunto E . Desta forma,

E = 1 0 1 0 , 1 1 0 0 , 0 0 0 1

C = 1 0 1 0 , 0 - 1 1 0 , 0 0 0 1

Comparando os dois, vemos que ambos tem matrizes semelhantes. A “exceção” é a matriz 0 - 1 1 0 do conjunto C .

E agora? Bom, para confirmarmos que C é base de U , vamos ter que verificar se 0 - 1 1 0 pertence a base E . Isto é, vamos verificar se é possível escrever a matriz 0 - 1 1 0 como combinação linear das matrizes de E . Portanto,

0 - 1 1 0 = a 1 0 1 0 + b 1 1 0 0 + c 0 0 0 1

0 - 1 1 0 = a + b b a c

a + b = 0 b = - 1 a = 1 c = 0

Resolvendo o sistema acima, chegamos a solução a = 1 , b = - 1 e c = 0 . Portanto, a matriz 0 - 1 1 0 realmente pode ser escrita como combinação da base E .

E como as outras matrizes de C também pertencem a E , acabamos de verificar que o conjunto C também é uma base de U .

Passo 3

Agora vamos partir para a letra b). Temos que encontrar uma matriz de mudança de base de B para C e depois de C para B .

Então, vamos começar determinando a matriz de mudança de B para C

Para isto, vamos ter que fazer o seguinte: vamos escrever o primeiro vetor da base C como combinação linear dos vetores da base B . Assim, teremos:

1 0 1 0 = a 11 1 1 0 0 + a 21 1 0 1 0 + a 31 0 0 0 1

1 0 1 0 = a 11 + a 21 a 11 a 21 a 31

Comparando coordenada a coordenada, obtemos a seguinte solução: a 11 = 0 , a 21 = 1 e a 31 = 0 .

Agora, vamos repetir o mesmo procedimento para os outros vetores de C . Para o segundo, temos:

0 - 1 1 0 = a 12 1 1 0 0 + a 22 1 0 1 0 + a 32 0 0 0 1

0 - 1 1 0 = a 12 + a 22 a 12 a 22 a 32

Cuja solução é a 12 = - 1 , a 22 = 1 e a 32 = 0 . Por fim, para o terceiro vetor de C , temos:

0 0 0 1 = a 13 1 1 0 0 + a 23 1 0 1 0 + a 33 0 0 0 1

0 0 0 1 = a 13 + a 23 a 13 a 23 a 33

Cuja solução é a 13 = a 23 = 0 e a 33 = 1 . Então, a matriz de mudança de B para C é:

P = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = 0 - 1 0 1 1 0 0 0 1

Passo 4

Agora temos que obter a matriz de mudança de C para B . Para isto, temos duas opções: fazer o mesmo procedimento que fizemos anteriormente, escrevendo os vetores de B como combinação linear dos vetores de C , ou, simplesmente, invertendo a matriz P .

E é este último o que vamos fazer. Vamos inverter a matriz P . E para isto, qualquer procedimento é válido! Portanto,

0 - 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

A ideia é transformar a matriz da esquerda na matriz identidade, enquanto a da direita será a nossa inversa. Vamos começar somando a segunda linha com a primeira linha. Portanto,

0 - 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1

Agora, vamos multiplicar a primeira linha por - 1 . Portanto,

0 1 0 1 0 0 0 0 1 - 1 0 0 1 1 0 0 0 1

Por fim, só nos resta reorganizar a primeira matriz. Para isto, vamos trocar a primeira linha com a segunda. Logo,

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 - 1 0 0 0 0 1

Então, a matriz de mudança de C para B que buscamos é:

P - 1 = 1 1 0 - 1 0 0 0 0 1

Passo 5

Por fim, queremos determinar os vetores u , v e w da base D = u , v , w . Para cada um destes vetores, vamos associar a uma matriz genérica, Portanto, sejam eles:

u = x 1 y 1 z 1 t 1

v = x 2 y 2 z 2 t 2

w = x 3 y 3 z 3 t 3

Continuando, para conseguirmos a base D , alguma informação tem que ser dada, não é? E, como era esperado, nos foi dado a matriz de mudança de base D para a B :

A = 1 1 0 0 0 2 0 3 1

Para resolvermos esta questão, é fundamental que a gente entenda como se monta a matriz de mudança de base! Então, vamos relembrar o procedimento de como se monta essa matriz de mudança de base.

Passo 6

Agora, vamos relembrar o procedimento de como se monta essa matriz de mudança de base à medida que resolvemos este nosso problema.

Para isto, vamos ter que fazer o seguinte: vamos escrever o primeiro vetor da base B como combinação linear dos vetores da base D . Assim, teremos:

1 1 0 0 = a 11 x 1 y 1 z 1 t 1 + a 21 x 2 y 2 z 2 t 2 + a 31 x 3 y 3 z 3 t 3

Só que os coeficientes da combinação linear são os elementos da matriz A . Então,

1 1 0 0 = 1 x 1 y 1 z 1 t 1 + 0 x 2 y 2 z 2 t 2 + 0 x 3 y 3 z 3 t 3

1 1 0 0 = x 1 y 1 z 1 t 1

E assim chegamos à solução x 1 = 1 , y 1 = 1 , z 1 = 0 e t 1 = 0 , o que corresponde ao vetor u (já resolvemos o primeiro). Sendo assim, vamos repetir o mesmo procedimento para os outros vetores de B . Para o segundo, temos:

1 0 1 0 = a 12 x 1 y 1 z 1 t 1 + a 22 x 2 y 2 z 2 t 2 + a 32 x 3 y 3 z 3 t 3

1 0 1 0 = 1 1 1 0 0 + 0 x 2 y 2 z 2 t 2 + 3 x 3 y 3 z 3 t 3

1 0 1 0 = 1 + 3 x 3 1 + 3 y 3 3 z 3 3 t 3

Cuja solução é x 3 = 0 , y 3 = - 1 / 3 , z 3 = 1 / 3 e t 3 = 0 , todas as coordenadas do nosso vetor w . Agora só nos resta encontrarmos o vetor v . Para isto, vamos utilizar o último vetor de B . Portanto,

0 0 0 1 = a 13 x 1 y 1 z 1 t 1 + a 23 x 2 y 2 z 2 t 2 + a 33 x 3 y 3 z 3 t 3

0 0 0 1 = 0 1 1 0 0 + 2 x 2 y 2 z 2 t 2 + 1 0 - 1 3 1 3 0

0 0 0 1 = 2 x 2 2 y 2 - 1 3 2 z 2 + 1 3 2 t 2

Cuja solução é x 2 = 0 , y 2 = 1 / 6 , z 2 = - 1 / 6 e t 2 = 1 / 2 .

Então, a base D que estamos procurando é D = 1 1 0 0 , 0 1 6 - 1 6 1 2 , 0 - 1 3 1 3 0 .

Resposta

  1. Os conjuntos B e C foram verificados como bases nos Passos 1 e 2.
  2. A matriz de mudança de B para C é:
  3. P = 0 - 1 0 1 1 0 0 0 1

    Já a matriz de mudança de C para B é:

    P - 1 = 1 1 0 - 1 0 0 0 0 1

  4. A base D é:

D = 1 1 0 0 , 0 1 6 - 1 6 1 2 , 0 - 1 3 1 3 0

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