Enunciado

Para que valores de a , b e c (reais) as seguintes matrizes de M 2 R são semelhantes

a - b b a   e   c 0 0 - c

Passo 1

Essa questão tem tanta letra envolvida que o problema está se tornando de português, e não de álgebra.

Agora, ela tem um fato bem engraçado. A sua resposta chega a se cômica.

Bom, queremos verificar quais valores de a ,   b e c as matrizes dadas são semelhantes. Duas matrizes são ditas semelhantes se, e somente se, existir uma matriz M invertível tal que:

M - 1 A M = B

Ou simplesmente,

A M = M B

Se fossemos continuar com este caminho, iríamos dizer que A = a - b b a , B = c 0 0 - c e M = x y z t e assim tentar desenvolver a relação. Mas, na real, não precisamos de nada disso.

Passo 2

Tudo será resolvido a partir de uma propriedade dessas matrizes. Existe uma propriedade de matrizes semelhantes que nos dizem que, se elas são semelhantes, temos:

det ⁡ A = det ⁡ B

Então, se nós calcularmos os determinantes de ambas as matrizes, temos:

a 2 + b 2 = - c 2

a 2 + b 2 + c 2 = 0

A única solução para esta equação é se a = b = c = 0 .

Esta é a solução da questão. Não chega a ser cômico? Uma questão que aparenta ser tão complexa possui um solução tão simples!

Resposta

a = b = c = 0

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