Enunciado

25 Considere os sistemas lineares

(a) Encontre uma solução geral do sistema homogêneo.

(b) Confirme que x1=1, x2=0, x3=1 é uma solução do sistema não homogêneo.

(c) Use os resultados das partes (a) e (b) para encontrar uma solução geral do sistema não homogêneo.

(d) Confira sua resposta na parte (c) resolvendo diretamente o sistema não homogêneo.

Passo 1

a)

O sistema linear homogêneo é o seguinte:

3 2 - 1 6 4 - 2 - 3 - 2 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Podemos escrever o sistema na forma de equações:

3 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 6 x 1 + 4 x 2 - 2 x 3 = 0 - 3 x 1 - 2 x 2 + x 3 = 0

Perceba que a segunda equação é igual a 2 vezes a primeira equação e que a terceira equação é igual a - 1 vez a primeira equação. Ou seja, essas equações são combinações lineares uma das outras. Dessa forma podemos usar somente uma delas:

3 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0

Como só temos uma equação e três incógnitas vamos precisar de duas variáveis livres. Vamos definir:

x 1 = a

e

x 2 = b

Então:

3 a + 2 b - x 3 = 0

x 3 = 3 a + 2 b

A solução geral do sistema fica dessa forma:

w = a ,   b ,   3 a + 2 b

Passo 2

b)

Vamos testar essa solução, 1 ,   0,1 , para o sistema não homogêneo. Primeiro vamos escrever esse sistema na forma de equações.

3 2 - 1 6 4 - 2 - 3 - 2 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 2 4 - 2

3 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 2 6 x 1 + 4 x 2 - 2 x 3 = 4 - 3 x 1 - 2 x 2 + x 3 = - 2

Testando para a primeira equação:

3 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 3 1 + 2 0 - 1

3 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 3 - 1

3 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 2

Deu certo. Agora para a segunda:

6 x 1 + 4 x 2 - 2 x 3 = 6 1 + 4 0 - 2 1

6 x 1 + 4 x 2 - 2 x 3 = 6 - 2

6 x 1 + 4 x 2 - 2 x 3 = 4

Também deu certo. E por ultimo, para aterceira equação:

- 3 x 1 - 2 x 2 + x 3 = - 3 1 - 2 0 + 1

- 3 x 1 - 2 x 2 + x 3 = - 3 + 1

- 3 x 1 - 2 x 2 + x 3 = - 2

E deu certo tabém para essa equação. Ou seja essa é uma solução do sistema não homogêneo:

x 0 = 1 ,   0 ,   1

Passo 3

c)

Usando o teorema 3.4.4 sabemos que a solução geral de um sistema não homogêneo pode ser obtida somando uma solução especifica qualquer do sistema não homogêneo com a solução geral do sistema homogêneo. Isso quer dizer que precisamos somar as soluções encontradas nas letras (a) e (b):

x = w + x 0

x = a ,   b ,   3 a + 2 b + 1 ,   0 ,   1

x = a + 1 ,   b ,   3 a + 2 b + 1

E é só isso ai.

Passo 4

d)

Vamos testar essa solução, a + 1 ,   b ,   3 a + 2 b + 1 , para o sistema não homogêneo:

3 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 2 6 x 1 + 4 x 2 - 2 x 3 = 4 - 3 x 1 - 2 x 2 + x 3 = - 2

Testando para a primeira equação:

3 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 3 a + 1 + 2 b - 3 a + 2 b + 1

3 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 3 a + 3 + 2 b - 3 a - 2 b - 1

3 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 2

Deu certo. Agora para a segunda:

6 x 1 + 4 x 2 - 2 x 3 = 6 a + 1 + 4 b - 2 3 a + 2 b + 1

6 x 1 + 4 x 2 - 2 x 3 = 6 a + 6 + 4 b - 6 a - 4 b - 2

6 x 1 + 4 x 2 - 2 x 3 = 4

Também deu certo. E por ultimo, para aterceira equação:

- 3 x 1 - 2 x 2 + x 3 = - 3 a + 1 - 2 b + 3 a + 2 b + 1

- 3 x 1 - 2 x 2 + x 3 = - 3 a - 3 - 2 b + 3 a + 2 b + 1

- 3 x 1 - 2 x 2 + x 3 = - 2

E deu certo tabém para essa equação. Ou seja, essa realmente é a solução geral do sistema não homogêneo:

x = a + 1 ,   b ,   3 a + 2 b + 1

Resposta

a)

w = a ,   b ,   3 a + 2 b

c)

x = a + 1 ,   b ,   3 a + 2 b + 1

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