Enunciado

23 (a) Encontre um sistema linear homogêneo de duas equações em três incógnitas cujo espaço de soluções consista em todos os vetores em R 3 ortogonais a a=(1,1,1) e b=(-2,3,0).

(b) O espaço das soluções é que tipo de objeto geométrico?

(c) Encontre uma solução geral do sistema obtido na parte (a) e confirme a validade do Teorema 3.4.3.

Passo 1

a)

Um sistema linear homogêneo de duas equções em três incógnitas é da forma:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = 0

Podemos reescrever o sistema, como um produto escalar, dessa forma:

r 1 ⋅ x = 0 r 2 ⋅ x = 0

Concluimos disso que os vetores soluções x são ortogonais as vetores r 1 e r 2 , ou seja, só precisamos definir esses vetores como sendo os dados no enunciado.

r 1 = a = 1 ,   1 ,   1

e

r 2 = b = - 2 ,   3 ,   0

Assim, os vetores a e b são ortogonais as espaço de soluções desse sistema. O sistema pode ser escrito dessa forma:

1 ⋅ x 1 + 1 ⋅ x 2 + 1 ⋅ x 3 = 0 - 2 ⋅ x 1 + 3 ⋅ x 2 + 0 ⋅ x 3 = 0

x 1 + x 2 + x 3 = 0 - 2 x 1 + 3 x 2 = 0

Passo 2

b)

Essas são equações de dois planos diferentes , ou seja, a solução desse sistema é a interseção dos dois planos.

E a interseção de dois planos é uma reta, desse forma, o espaço das soluções do sistema formam retas.

Passo 3

c)

Precismos de uma solução geral desse sistema:

x 1 + x 2 + x 3 = 0 - 2 x 1 + 3 x 2 = 0

Como temos duas equações e três incógnitas vamos precisar de uma variável livre para resolver o sistema.

Vamos isolar x 1 na segunda equação:

- 2 x 1 + 3 x 2 = 0

2 x 1 = 3 x 2

x 1 = 3 2 x 2

Podemos substituir esse resultado na primeira equação:

x 1 + x 2 + x 3 = 0

3 2 x 2 + x 2 + x 3 = 0

5 2 x 2 + x 3 = 0

Isolando x 3 :

x 3 = - 5 2 x 2

Vamos definir x 2 como sendo a variável livre, pois já temos x 1 e x 3 em função de x 2 :

x 2 = u

Logo:

x 1 = 3 2 u

e

x 3 = - 5 2 u

Escrevendo na forma vetorial:

x = 3 2 u ,   u ,   - 5 2 u

Esse vetor solução deve ser ortogonal aos vetores linha dos coeficientes, vamos testar:

r 1 ⋅ x = 1 ,   1 ,   1 ⋅ 3 2 u ,   u ,   - 5 2 u

r 1 ⋅ x = 3 2 u + u - 5 2 u

r 1 ⋅ x = 0

Para o primeiro vetor linha deu certo.

r 2 ⋅ x = - 2 ,   3 ,   0 ⋅ 3 2 u ,   u ,   - 5 2 u

r 2 ⋅ x = - 2 ⋅ 3 2 u + 3 ⋅ u + 0 ⋅ - 5 2 u

r 2 ⋅ x = - 3 u + 3 u + 0 u

r 2 ⋅ x = 0

E para o segundo vetor linha também deu certinho, ou seja o Teorema 3.4.3 deu certo.

Resposta

a)

x 1 + x 2 + x 3 = 0 - 2 x 1 + 3 x 2 = 0

b)

Essas são equações de dois planos diferentes , ou seja, a solução desse sistema é a interseção dos dois planos.

E a interseção de dois planos é uma reta, desse forma, o espaço das soluções do sistema formam retas.

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