Enunciado

Consideremos no R 3 , o seguinte produto interno:

x 1 , y 1 , z 1 ∙ x 2 , y 2 , z 2 = 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 + 4 z 1 z 2

Determinar, em relação a esse produto interno, um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores u = 1 , - 1,2 ,   v 2 = ( 2,1 , 0 )

Passo 1

Bom, pra ser ortogonal, o produto interno tem que ser igual a zero.

Vamos considerar um vetor qualquer ( x , y , z ) .

A gente precisa que:

x , y , z ∙ 1 , - 1,2 = 0

e

x , y , z ∙ 2,1 , 0 = 0

Vamos montar isso aí então, lembrando que o produto interno que a gente vai usar é o que deram no enunciado...

Passo 2

x , y , z ∙ 1 , - 1,2 = 0

2 x 1 + y - 1 + 4 z 2 = 0

2 x - y + 8 z = 0

x , y , z ∙ 2,1 , 0 =   0

2 x 2 + y 1 + 4 z 0 = 0

4 x + y = 0

Ficamos então com:

2 x - y + 8 z = 0 4 x + y = 0

Daí temos:

y = - 4 x

2 x + 4 x + 8 z = 0

8 z = - 6 x

z = - 3 4 x

Passo 3

Se a gente fizer x = - 4 , ficamos com y = 16 e z = 3 .

Ou seja: ( - 4,16,3 ) é um vetor ortogonal a u   e   v ao mesmo tempo...

Na verdade, qualquer vetor da forma k - 4,16,3 ,   k ∈ R é.

Obs: O vetor encontrado vai depender da sua solução no sistema, tem muitos, esse é só um deles.

Resposta

k - 4,16,3 ,   k ∈ R

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Sejam f ( t )=a 0 + a 1 t + a 2 t ² + . . . + a n t n e ² g ( t )=b 0 + b 1 t + b 2 t ² + . . . + b n t n ² polinômios quaisquer de P n ( R ) . A função ( f ( t ) , g ( t ) ) →a 0b 0 + a 1 b 1 + . . .
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