Enunciado

Verificar a desigualdade de Cauchy quando se tem:

  1. u = 2 , - 1   e   v = ( - 2,4 ) e o produto interno do problema 1b.
  2. u = - x 2 + x - 3 e v = 3 x 2 - x + 1 e o produto interno do problema 5.

Passo 1

A desigualdade de Cauchy diz que:

u ∙ v ≤ u ∙ | v |

Ou seja, a norma do produto interno é menor que o produto interno da norma.

Vamos aplicar isso nos nossos casos então...

Passo 2

  1. O produto interno do problema 1b é
  2. u ∙ v = 2 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2

    No nosso caso então:

    u ∙ v = 2 2 - 2 + 5 - 1 4 =   - 8 - 20 = - 28

    A norma então é - 28 2 = 28 .

    Temos que a norma de u é:

    u = u ∙ u = 2 2 2 + 5 - 1 2 = 13

    E a de v ...

    v = v ∙ v = 2 - 2 2 + 5 4 2 = 88

    Então, pela desigualdade temos que:

    28 ≤ 13 ∙ 88

    28 ≤ 1114

    28 ≤ 33,376638 …

    Vemos que isso é verdadeiro, então tá comprovada a desigualdade.

    Passo 3

  3. Vamos fazer a mesma coisa só que agora com o produto interno do número 5, que é:

p ∙ q = a 2 b 2 + a 1 b 1 + a 0 b 0

Temos que: u ∙ v = - 1 3 + 1 - 1 + - 3 1 =   - 3 - 1 - 3 = - 7

Então: u ∙ v = - 7 2 = 7

Agora, a gente faz a norma de cada um...

u = u ∙ u = - 1 2 + 1 2 + - 3 2 = 1 + 1 + 9 = 11  

v = 3 2 + - 1 2 + 1 2 = 9 + 1 + 1 = 11

Agora a gente joga isso na desigualdade...

7 ≤ 11 ∙ 11

7 ≤ 11

E tá comprovada a desigualdade de novo😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se u =a 1 b 1 c 1 d 1ev =a 2 b 2 c 2 d 2 São matrizes quaisquer de M(2,2), a seguinte fórmula define um produto interno nesse espaço: u ∙ v = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 + d 1 d 2 Dados os vetores: u
Consideremos no R 3 , o produto interno usual. Para que valores de m os vetores uev são ortogonais? u = 3 m , 2 , - m e v = - 4,1 , 5 u = ( 0 , m - 1,4 ) e v = ( 5 , m - 1 , - 1 )
Consideremos o seguinte produto interno em P 2 : p ∙ q = a 2 b 2 + a 1 b 1 + a 0 b 0 , sendo p = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 e q = b 2 x 2 + b 1 x + b 0 . Dados os vetores p 1 = x 2 - 2 x + 3 , p 2 = 3 x -
Seja V = R 3 com o produto interno usual. Determinar um vetor u ∈ R 3 ortogonal aos vetores v 1 = 1,1 , 2 ,v 2 = 5,1 , 3ev 3 = ( 2 , - 2 , - 3 ) .
No espaço V = P 2 consideremos o produto interno f t ∙ g t =∫ 0 1 f t ∙ g td t . Calcular f t ∙ g t e | f t | para f t = t 2 - 2 t e g t = t + 3 .