Enunciado

  1. Construa uma base ortonormal positiva ( I → ,   J → ,   K → ) tal que J → seja paralelo a ( 2,1 , 1 ) e K → coplanar com ( 2,0 , 1 ) e ( 2,1 , 0 ) .
  2. Sendo v →   =   ( 1 , - 3,4 ) e w →   =   2 I →   - 2 J →   +   3 K → , calcule: as coordenadas de v → na base ( I → ,   J → ,   K → ) ,   v →   ⋅   w → e   v →   ∧   w → na base ( I → ,   J → ,   K → ) .

Passo 1

  1. Fala, galera! Mais uma questão para a gente detonar! Então vamos lá! Para que J → seja paralelo a ( 2,1 , 1 ) , devemos ter
  2.   J → = α ( 2,1 , 1 )

    Como a base deve ser ortonormal, então todos os vetores devem ter módulo igual a 1. Assim,

    |   J → | = 1 ⇒ α 2 ( 4 + 1 + 1 ) = 1 ⇒ 6 α = 1 ⇒ α = 1 6

    ⇒ J → = 1 6 ( 2,1 , 1 )

    O fato de K → ser coplanar com ( 2,0 , 1 ) e ( 2,1 , 0 ) indica que os três vetores pertencem ao mesmo plano. Então K → pode ser escrito como combinação linear de ( 2,0 , 1 ) e ( 2,1 , 0 ) :

    K → = β ( 2,0 , 1 ) + γ ( 2,1 , 0 ) = ( 2 β + 2 γ , γ   , β )

    Já o vetor I → será da forma I → = ( a , b , c ) . Como a base é ortonormal positiva, o produto vetorial do primeiro vetor com o segundo deve gerar o terceiro, do segundo com o terceiro deve gerar o primeiro e do terceiro com o primeiro deve gerar o segundo. Vamos calcular cada um desses produtos vetoriais e ver que conclusões podemos tirar:

  • Do primeiro vetor com o segundo:

1 6 ( b - c ) = 2 β + 2 γ

1 6 ( 2 c - a ) = γ

1 6 ( a - 2 b ) = β

Vamos multiplicar a segunda e terceira equações por 2:

1 6 ( b - c ) = 2 β + 2 γ

1 6 ( 4 c - 2 a ) = 2 γ

1 6 ( 2 a - 4 b ) = 2 β

Somando a segunda e terceira equações, obtemos

1 6 ( 4 c - 4 b ) = 2 γ + 2 β

Agora, comparando o resultado acima com a primeira equação, vemos que

1 6 ( 4 c - 4 b ) = 1 6 ( b - c ) ⇒ 4 c - 4 b = b - c

⇒ 5 c = 5 b ⇒ c = b

Substituindo esse resultado na primeira equação, obtemos

1 6 ( b - c ) = 2 β + 2 γ = 0 ⇒ β = - γ

Vamos resumir os resultados que temos até agora:

I → = ( a , b , b )

J → = 1 6 ( 2,1 , 1 )

K → = ( 0 , β   , - β )

Agora ficou fácil de determinar K → usando a condição de ortonormalidade, isto é, do módulo ser igual a 1:

| K → | = 1 ⇒ 2 β 2 = 1 ⇒ β = 1 2

⇒ K → = 1 2 ( 0,1   , - 1 )

Podemos também substituir β = 1 2 em

1 6 ( 2 a - 4 b ) = 2 β

⇒ 1 6 ( 2 a - 4 b ) = 2 1 2 = 2

⇒ 2 a - 4 b = 6 2 = 2 3

⇒ 4 b = 2 a - 2 3 ⇒ b = a - 3 2

Agora, I → = ( a , a - 3 2 , a - 3 2 ) e, utilizando a condição de ortonormalidade, obtemos:

| I → | = 1 ⇒ a 2 + ( a - 3 ) 2 4 + ( a - 3 ) 2 4 = 1

⇒ a 2 + 2 ( a 2 - 2 3 a + 3 ) 4 = 1

⇒ 4 a 2 + 2 ( a 2 - 2 3 a + 3 ) 4 = 1

⇒ 6 a 2 - 4 3 a + 6 4 = 1

Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos:

6 a 2 - 4 3 a + 6 4 = 1

⇒ 6 a 2 - 4 3 a + 6 = 4

⇒ 6 a 2 - 4 3 a + 2 = 0

⇒ a = 4 3 ± 48 - 48 12 = 4 3 12 = 3 3 = 1 3

⇒ a = 1 3

Assim, ficamos com

⇒ b = c = a - 3 2 = 1 2 3 - 3 2 = 1 - 3 2 3 = - 2 2 3 = - 1 3

⇒ b = c = - 1 3

Assim, ficamos com

I → = 1 3 ( 1 , - 1 , - 1 )

J → = 1 6 ( 2,1 , 1 )

K → = 1 2 ( 0,1   , - 1 )

Passo 2

  • Ok, agora temos que calcular vários vetores na base do item a). Isso significa que temos que escrever esses vetores como uma combinação linear dos vetores de base. Assim
  • v →   =   x I → + y J → + z K →

    ⇒ ( 1 , - 3,4 ) = x 3 ( 1 , - 1 , - 1 ) + y 6 ( 2,1 , 1 ) + z 2 ( 0,1   , - 1 ) = 1 6 ( 2 x + 2 y )

    ⇒ ( 1 , - 3,4 ) = 1 6 ( 2 x + 2 y , - 2 x + y + 3 z , - 2 x + y - 3 z )

    ⇒ 2 x + 2 y = 6

    - 2 x + y + 3 z = - 3 6

    - 2 x + y - 3 z = 4 6

    Somando as duas últimas equações, obtemos

    - 2 2 x + 2 y = 6

    Agora, comparamos este resultado com a primeira equação e obtemos

    - 2 2 x + 2 y = 2 x + 2 y ⇒ - 2 2 x = 2 x ⇒ x = 0

    Ou seja, a primeira equação resulta em

    2 x + 2 y = 6 ⇒ 2 y = 6 ⇒ y = 6 2

    Com esses resultados em mente, a terceira equação nos dá:

    - 2 x + y + 3 z = - 3 6 ⇒ 3 z = - 3 6 - y ⇒ 3 z = - 3 6 - 6 2 = - 7 2 6 ⇒ z = - 7 2 2

    Então,

    v →   = ( 0 , 6 2 , - 7 2 2 ) B = 6 2 J →   - 7 2 2 K →

    O vetor w →   =   2 I →   - 2 J →   +   3 K → = ( 2 , - 2,3 ) B já está escrito na base ( I → ,   J → ,   K → ) então fica fácil obter

    v →   ⋅   w → = ( 0 , 6 2 , - 7 2 2 ) B ⋅ ( 2 , - 2,3 ) B = - 6 - 21 2 2

    e

      v →   ∧   w → = ( 6 2 J →   - 7 2 2 K → ) ∧ (   2 I →   - 2 J →   +   3 K → ) = 6 2 J → ∧ 2 I →   + 6 2 J → ∧ 3 K → - 7 2 2 K → ∧ 2 I → + 7 2 2 K → ∧ 2 J →

    v →   ∧   w → = - 6 2 K →   + 3 6 2 I → - 7 2 J → - 7 2 I → = ( 3 6 2 - 7 2 ) I → - 7 2 J → - 6 2 K →  

    Resposta

    1. I → = 1 3 ( 1 , - 1 , - 1 ) , J → = 1 6 ( 2,1 , 1 ) , K → = 1 2 ( 0,1   , - 1 )
    2. v →   = ( 0 , 6 2 , - 7 2 2 ) B ,   v →   ⋅   w → = - 6 - 21 2 2 ,   v →   ∧   w → = ( 3 6 2 - 7 2 ) I → - 7 2 J → - 6 2 K →  

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