Enunciado

Calcule o volume do tetraedro O A B C , sabendo que A O , O B e O C medem, respectivamente, 2, 3, 4, que A Ô B   =   A Ô C   =   45 °   e   B Ô C   =   60 ° (veja o exercício resolvido 4 e calcule um produto misto elevado ao quadrado).

Passo 1

Vamos seguir a sugestão do livro e calcular o seguinte produto misto elevado ao quadrado:

onde usamos a relação V = 1 6 [ O A , → O B → , O D → ] . Agora, vamos calcular cada um desses produtos internos, sabendo que A O , O B e O C medem, respectivamente, 2, 3, 4 e que A Ô B   =   A Ô C   =   45 °   e   B Ô C   =   60 ° :

O A → ⋅ O A → = | O A → | 2 = 4

O A → ⋅ O B → = O B → ⋅ O A → = | O A → | | O B → | c o s   45 º = 2 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 3 2

O A → ⋅ O C → = O C → ⋅ O A → = | O A → | | O C → | c o s   45 º = 2 2 ⋅ 2 ⋅ 4 = 4 2

O B → ⋅ O B → = | O B → | 2 = 9

O B → ⋅ O C → = O C → ⋅ O B → = | O B → | | O C → | c o s   60 º = 1 2 | O B → | | O C → | = 1 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 6

O C → ⋅ O C → = | O C → | 2 = 16

Passo 2

Vamos pegar todos os produtos internos calculados no passo anterior e substituir no produto misto ao quadrado:

V 2 = 1 36 [ 4 ( 108 ) - 6 ( 24 ) + 8 ( - 18 ) ] = 1 36 [ 432 - 144 - 144 ] = 144 36 = 4

⇒ V = 2

Resposta

V = 2

Exercícios de Livros Relacionados

4. Sabendo que (u , w , x) = 2 e (v , w , x) = 5 , calculara) (u , x , - w) b) (3 u , 3 w , - 2 x) c) (2 u + 4 v , w , x) d) (5 u - 3 v , 2 w , x)
Verificar se são coplanares os vetores:b) vec u = (2 , - 1,3) , vec v (3,1 , - 2) e vec w = ( 7 , - 1,4 )
Verificar se são coplanares os pontos:A (1,1 , 0) , B (- 2,1 , - 6) , C (- 1,2 , - 1) e D ( 2 , - 1 , - 4 )
Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores v 1 → = 0 , - 1,2 ,v 2 → = - 4,2 , - 1e v 3 → = ( 3 , m , - 2 ) seja igual a 33 . Calcular a altura desse paralelepí
Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores: u → = 2 , - 1 , k ,v → = 1,0 , 2 e w → ( k , 3 , k )