Enunciado

Dadas as retas

r: x - 2 2 = y 2 = z e s: x-2 = y = z,

obtenha uma equação geral para o plano determinado por r e s.

Passo 1

Escrevendo as equações das retas em suas formas paramétricas:

r: x = 2 + 2 t y = 2 t z = 1 t

s: x = 2 + 1 t y = 1 t z = 1 t

Dessa forma, podemos perceber que os vetores diretores de r e s são, respectivamente:

V 1 = 2,2 , 1

V 2 = 1,1 , 1

Passo 2

Devemos, agora, realizar o produto vetorial para descobrirmos o vetor normal ao plano:

n → =   V 1 × V 2

n → = det i j k 2 2 1 1 1 1

Realizando a conta do determinante:

n → = 2i + 1j + 2k – 2k -2j -1i

n → = 1i - 1j + 0k

Passo 3

A equação cartesiana do plano é dada por:

ax + by + cz + d = 0

Substituindo os valores encontrados no vetor normal por a, b e c:

x – y + d = 0

Para descobrirmos o valor de d, podemos substituir o ponto inicial de r na equação do plano, tal que:

P = (2,0,0)

x – y + d = 0

2 – 0 + d = -2

d = -2

Resposta

x – y – 2 = 0

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