Enunciado

Dado o triângulo ABC não retângulo, a = t g   Â , b = t g   B ^ e c = t g   C ^ .

  1. Prove que no ortocentro é interior ao triângulo se, e somente se, ele for acutângulo. (No caso em que o triângulo é retângulo, é imediato verificar que as três alturas têm um único ponto comum, que é o vértice do ângulo reto).

Passo 1

Nesta letra d nós vamos ter algo mais ou menos assim:

Boom, da letra (a) e da letra (c) nós comprovamos que:

C P → = a + b a + b + c C X →

C X → = a a + b C A → + b a + b C B →

Então:

C P → = a + b a + b + c a a + b C A → + b a + b C B →

C P → = a a + b + c C A → + b a + b + c C B →

Pelo exercício 5-5 teremos que P será interior ao triângulo acutângulo se, e somente se, tivermos:

a a + b + c > 0

b a + b + c > 0

a + b a + b + c < 1

Ou melhor:

a > 0 ,                                       b > 0 ,                                   c > 0

t g   Â > 0 ,     t g   B ^ > 0 ,     t g   C ^ > 0

Como consequência todos os três ângulos do triângulo serão agudos para que o ortocentro P seja interior ao triângulo.

Tranquilinha ??

Resposta

C o m o   v i s t o   a c i m a   ‼

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