Enunciado

No triângulo ABC, sejam u → = C A → ,   v → = C B → ,   w → = u → - 2 v → . Calcule α para que X = C + α w → pertença a reta AB.

Passo 1

Animadíssimo pra seguir?

Então booora lá ..

Antes de qualquer coisa vamos desenhar isso daí:

Bom galerinha o problema nos disse que:

X = C + α w →

X - C = α w →

C X → = α w →

Usando esta equação com a outra informação que:

w → = u → - 2 v →

Nós teremos que:

C X → = α u → - 2 v →

C X → = α u → - v → - v →

Olhando para o termo u → - v → :

u → - v → = C A → - C B → = A - C - B - C = A - C - B + C = B A → = - A B →

Então:

C X → = α - A B → - v →

Substituindo v → :

C X → = α - A B → - C B → = - α A B → + C B →

Passo 2

Se x   ϵ   A B → :

A X → = α A B →

X B → = ( 1 - α ) A B →

Sendo assim:

C X → + X B → = C B →

C X → = C B → - X B →

Substituindo X B → :

C X → = C B → - ( 1 - α ) A B →

Substituindo C X → :

- α A B → - α C B → = C B → - A B → + a A B →

1 - α - a A B → - 1 + α C B → = 0

Para atender a igualdade:

1 - α - a = 0 → 1 + 1 - a = 0 → a = 2

1 + α = 0 → α = - 1

Então, para que x   ϵ   A B → , o α = - 1   ‼

Gostaram ?!

Resposta

α = - 1     ‼

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