Enunciado

Dado o triangulo de vértices A = (0, 1, −1), B = (−2, 0, 1) e C = (1, −2, 0), determine a medida da altura relativa ao lado BC.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de geometria analítica.

Para responder ao questionamento do enunciado, vamos partir da área do triângulo:

A = b h 2

Se a base b é o lado BC, a altura h será exatamente a altura relativa ao lado BC, que é o que desejamos encontrar. Logo, temos que:

h = 2 A b

Determinamos o vetor BC usando as coordenadas de B e C que foram fornecidas no enunciado:

B C = 1 ,   - 2 ,   0 - - 2 ,   0 ,   1 = 3 ,   - 2 ,   - 1

Já a área do triângulo pode ser calculada como metade do módulo do produto vetorial de dois segmentos, sejam AB e AC, ou BA e BC ou CA e CB:

C A = 1 ,   - 2 ,   0 - 0 ,   1 ,   - 1 = 1 ,   - 3 ,   1

C B = 1 ,   - 2 ,   0 - - 2 ,   0 ,   1 = 3 ,   - 2 ,   - 1

Teremos:

i j k 1 - 3 1 3 - 2 - 1 = 3 i + 3 j - 2 k + 9 k + j + 2 i = 5 i + 4 j + 7 k

O módulo desse vetor é dado por:

5 2 + 4 2 + 7 2 = 25 + 16 + 49 = 90 = 3 1 0

A área do triângulo é dada por:

A = 3 10 2

Passo 2

Com a área do triângulo conhecida, e o vetor BC determinado, podemos calcular b:

b = B C = 3 2 + - 2 2 + - 1 2 = 9 + 4 + 1 = 1 4

Substituindo b e A em:

h = 2 A b

Teremos:

h = 2 ∙ 3 10 2 14 = 3 10 14 = 3 10 14 ∙ 14 14 = 3 14 0 14 = 3 ∙ 2 35 14 = 3 35 7

Resposta

3 35 7 .

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Resolva os sistemas:(b) x → . 2 i → + 3 j → + 4 k → = 9 x → ∧ - i → + j → - k → = - 2 i → + 2 k →
(a) Prove que, se u → é unitário, então u → ∧ v → ∧ u → = v → - p r o j u → v → , qualquer que seja v → . O duplo produto u → ∧ v → ∧ u → é, portanto, o vetor q → mencionado em [9-9].
(a) Mostre que u → i j ∧ v → i j = D a b K → , u → i k ∧ v → i k = - D a c J → , u → j k ∧ v → j k = D b c I → , e, consequentemente S Ω i j = D a b ,S Ω i k = D a ceS Ω j k = D b c .
(c) Sejam α ,β e γ , respectivamente, as medidas angulares entre u → ∧ v → e i → , u → ∧ v → e j → , u → ∧ v → e k → .Mostre que S Ω i j = S Ω cos ⁡ γ ,S Ω i k = S Ω cos ⁡ β e S Ω j k = S Ω cos ⁡ α .
Sejam ∧ e ∧ * os produtos vetoriais associados às duas orientações distintas de V 3 . Exprima: a → ∧ * b → em função de a → ∧ b → ; a → ∧ * b → ∧ * c → em função de a → ∧ b → ∧ c → ; a → ∧ * b → ∧ * c