Enunciado

Sejam e ∧ * os produtos vetoriais associados às duas orientações distintas de V 3 . Exprima:

  1. a → ∧ * b → em função de a → ∧ b → ;
  2. a → ∧ * b → ∧ * c → em função de a → ∧ b → ∧ c → ;
  3. a → ∧ * b → ∧ * c → ∧ * d → em função de ( a → ∧ b → ) ∧ * ( c → ∧ * d → ) .

Passo 1

Bora lá!

Vamos usar a mes ideia a seguir para as três as letras, beleza?

Existem duas orientações distintas do espaço tridimensional, certo? A mais conhecida é a obtida pela famosa regra da mão direita. Em termos práticos, isso resultará em uma mudança de sinal do resultado obtido.

Logo, as operações solicitadas, que na resolução nós vamos representar por ∧ * , são similares ao produto vetorial, representado por , diferindo apenas pela direção da resultante. Assim, temos:

Passo 2

(a) Exprimir a → ∧ * b → em função de a → ∧ b → .

a → ∧ * b → = - a → ∧ b →

Passo 3

(b) Exprimir a → ∧ * b → ∧ * c → em função de a → ∧ b → ∧ c → .

a → ∧ * b → ∧ * c → = - 1 . - 1 a → ∧ b → ∧ c →

                      = a → ∧ b → ∧ c →

Passo 4

(c) Exprimir a → ∧ * b → ∧ * c → ∧ * d → em função de ( a → ∧ b → ) ∧ * ( c → ∧ * d → ) .

a → ∧ * b → ∧ * c → ∧ * d → = - 1 a → ∧ b → ∧ * - 1 c → ∧ d →

                                                                                    = - 1 . - 1 a → ∧ b → ∧ * c → ∧ d →

                                            = a → ∧ b → ∧ * c → ∧ d →

                                                        = - 1 . a → ∧ b → ∧ c → ∧ d →

Resposta

  1. a → ∧ * b → = - a → ∧ b → ;
  2. a → ∧ * b → ∧ * c → = a → ∧ b → ∧ c → ;
  3. a → ∧ * b → ∧ * c → ∧ * d → = - 1 [ ( a → ∧ b → ) ] ∧ [ ( c → ∧ d → ) ] .
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre a Propriedade 2 do Teorema 8.
Se a = ( 3 , 1 , 2 ) b = ( - 1,1 , 0 ) c = ( 0 , 0 , - 4 ) Mostre que a × b × c ≠ a × b × c
Demonstre que a × b ∙ c × d = a ∙ c b ∙ c a ∙ d b ∙ d
O pedal de uma bicicleta é empurrado por um pé com força de 60 N , como mostrado. A haste do pedal tem 18c m de comprimento. Determine o módulo do torque em relação a P .
Determine a intensidade do torque em relação a P se for aplicada uma força de 240N , como mostrado na figura: